La interpretación de los estados de la ecuación de Dirac depende de la representación que elija para suγm
-matrices o tuαi
yβ
-matrices dependiendo de lo que prefieras. Ambos están vinculados a través deγm= ( β, βα⃗ )
. Elegir su representación fijará (más o menos) su base en la que considera las soluciones a su ecuación (si elige otra representación, rotará toda su solución).
La representación que elegiré es la representación de Dirac-Pauli, dada por:
β= (yo2 × 200−yo2 × 2)yαi= (0σiσi0) ,
dónde
σi
son las matrices de Pauli.
Si resuelve la ecuación de Dirac en esta representación, encontrará 4 soluciones independientes :
ψ1( X ) =norte1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜10pagszmi+ mpagsX+ yopagsymi+ m⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟Exp( - yopagsmXm)
ψ2( X ) =norte2⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜01pagsX− yopagsymi+ m−pagszmi+ m⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟Exp( - yopagsmXm)
ψ3( X ) =norte3⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜pagszmi- metropagsX+ yopagsymi- metro10⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟Exp( yopagsmXm)
ψ4( X ) =norte4⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜pagsX− yopagsymi- metro−pagszmi- metro01⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟Exp( yopagsmXm)
La forma de interpretar estos estados es mirarlos en el marco de reposo, por lo que el marco en el que están quietospagsm= ( mi, 0 , 0 , 0 )
, los estados se convertirán simplemente en los siguientes:
ψ1=norte1⎛⎝⎜⎜⎜1000⎞⎠⎟⎟⎟mi- yo mit,ψ2=norte2⎛⎝⎜⎜⎜0100⎞⎠⎟⎟⎟mi- yo mit,ψ3=norte3⎛⎝⎜⎜⎜0010⎞⎠⎟⎟⎟miyo mit y ψ4=norte4⎛⎝⎜⎜⎜0001⎞⎠⎟⎟⎟miyo mit,
mediante la inspección de la evolución temporal del factor de fase ya podemos ver que
ψ1
y
ψ2
representan estados de energía positiva (partículas) y la
ψ3
y
ψ4
representan estados de energía negativa (por lo que anti-partículas).
Para conocer el giro se debe utilizar el operador de helicidad , dado por:
σpags=pags⃗ ^⋅S^|pags⃗ |,
En el caso de la ecuación de Dirac, el operador de espín viene dado por la doble matriz de Pauli:
S^=12(σ⃗ 00σ⃗ ) ,
si dejamos que este funcione en los espinores
ψ1
,
ψ2
,
ψ3
y
ψ4
, encontramos que su espín es respectivamente arriba, abajo, arriba, abajo. Entonces, al observar los electrones, el espinor de Dirac se puede interpretar en la representación de Pauli-Dirac como (por ejemplo, para el electrón):
ψ =⎛⎝⎜⎜⎜mi−↑mi−↓mi+↑mi+↓⎞⎠⎟⎟⎟.
Cuando el impulso NO es igual a cero, estos diferentes estados se mezclan y no puedes hacer una identificación tan simple. Usualmente se dice que el electrón se convierte en una mezcla de un electrón con positrones cuando comienza a moverse.
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