¿En qué representación se escribe la ecuación de Dirac en RQM (a diferencia de QFT)?

En los tratamientos introductorios de Mecánica Cuántica, es común ver que la ecuación de Schrödinger se escribe simplemente como:

− ℏ 2 2 metro ∇ 2 Ψ ( r , t ) + V ( r ) Ψ ( r , t ) = i ℏ ∂ Ψ ∂ t ( r , t ) .

Cuando lo encontré por primera vez, tuve la impresión equivocada de que Ψ era una función definida en el espacio-tiempo.

Más tarde, estudiando Mecánica Cuántica en un nivel un poco más avanzado que este, he aprendido los postulados. Lo que tenemos, en verdad, es un espacio de estado abstracto (el espacio de kets) mi , tenemos una posición observable R = ( X , Y , Z ) y este observable da lugar a una base | r ⟩ de autoestados.

En ese sentido, la ecuación de evolución es en verdad simplemente:

H | ψ ( t ) ⟩ = i ℏ d | ψ ( t ) ⟩ d t ,

y la ecuación de Shcrödinger que aparece en los tratamientos introductorios es solo la proyección de esa ecuación sobre la base | r ⟩ mientras escribimos Ψ ( r , t ) = ⟨ r | ψ ( t ) ⟩ .

En casi todos los tratamientos que he visto hasta ahora de la Ecuación de Dirac, la ecuación se escribe directamente como:

( i γ m ∂ m − metro ) ψ = 0.

Entonces se dice que γ m deben ser matrices y esto implica que ψ debe ser un vector columna con cuatro líneas. De hecho, tenemos ψ : METRO → C 4 , dónde METRO es espacio-tiempo.

Ahora nos preguntamos: por qué tiene sentido, en la ecuación de Schrödinger, escribirla en términos de una función Ψ ( r , t ) ? Y la respuesta es: porque tenemos una base de posición y el tiempo es un parámetro de evolución.

Ahora, como he descubierto, ¡ el tiempo no es un observable ! Por lo tanto, no existe una base de vectores propios asociados al tiempo. En ese caso, no tiene sentido hablar de una "base de espacio-tiempo" | r ⟩ ⊗ | t ⟩ . Esto, nuevamente, no existe, porque el tiempo y el espacio se tratan de manera diferente en QM: el tiempo es un parámetro, la posición es un observable.

En ese caso, ¿en qué representación se escribe la ecuación de Dirac? Quiero decir, la ecuación de Dirac es qué ecuación en el espacio de estado abstracto mi y ¿cuál es la representación en la que lo proyectamos para obtener la ecuación del "espacio-tiempo"?

¿Cómo encaja la ecuación de Dirac en el formalismo de la Mecánica Cuántica del espacio de estado abstracto si no existe una "base espaciotemporal"?

esta es otra de las razones por las que muy pocas personas se preocupan por RQM. La verdadera teoría, la que es útil, es QFT.
Absolutamente nada le impide hacer observable el tiempo, pero no será más útil que hacer observables las coordenadas espaciales. La teoría cuántica, al menos a este nivel, no describe el espacio-tiempo en sí mismo. Describe el movimiento de la materia en el fondo clásico del espacio-tiempo.

Respuestas (1)

La base sigue siendo { | r ⟩ } . La ecuación abstracta de Schrödinger es

i d d t | ψ ⟩ = H | ψ ⟩
dónde | ψ ⟩ es un conjunto de cuatro kets, (con un ligero abuso de notación)
| ψ ⟩ = ( | ψ 1 ⟩ | ψ 2 ⟩ | ψ 3 ⟩ | ψ 4 ⟩ )

El tiempo sigue siendo un parámetro, | ψ ⟩ = | ψ ⟩ ( t ) ; para obtener la ecuación de movimiento en la base de posición, solo tienes que proyectarla en el "ket" ⟨ r | :

i ⟨ r | d d t | ψ ⟩ = ⟨ r | H | ψ ⟩
que es solo la ecuación de Dirac si identificas ⟨ r | ψ ⟩ = ψ ( r , t ) y
⟨ r | H = − i α i ∂ i + metro β

Como puede ver, el tiempo y la posición se tratan de manera diferente. RQM se entiende mejor sin referencia a espacios abstractos. Cuando se escribe de manera abstracta, la covarianza de la teoría no es explícita. Pero la ecuación final, la ecuación de Dirac, es covariante, así que todo sale bien. De todos modos, me gustaría enfatizar que RQM no es realmente útil. La ecuación de Dirac no tiene sentido como ecuación de onda relativista. Solo es útil porque también se usa en QFT. Puede disfrutar de los primeros capítulos del libro de Srednicki sobre QFT (hay una copia de acceso abierto en su página web), donde analiza las sutilezas de la construcción de teorías cuánticas relativistas.

De hecho, OP, realmente te animo a que leas los primeros capítulos del libro de Srednicki. Creo que contiene exactamente lo que estás buscando. Como de costumbre, si tiene alguna pregunta, no dude en preguntar.
¿En qué representación se escribe la ecuación de Dirac en RQM (a diferencia de QFT)?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v