Interpretación de los estados de la ecuación de Dirac para electrones en movimiento

Para comprobar la proyección de giro en el$i$-th eje para el tercer y cuarto componente, solo necesita calcular la cantidad

$$\Sigma_{i}\psi, \quad \Sigma_{i} = \text{diag}(\sigma_{i}, \sigma_{i})$$ con (por simplicidad) $\psi = (0,0,1,0)$y $\psi = (0,0,0,1)$correspondientemente

Para verificar la helicidad de estos componentes, solo necesita calcular la cantidad

$$\frac{(\Sigma \cdot \mathbf p)}{|\mathbf p|}\psi$$ de nuevo por $\psi = (0,0,1,0)$y $\psi = (0,0,0,1)$.

...Por lo tanto, hay dos soluciones SU(2) independientes$\phi_{R}$y$\phi_{L}$(que están conectados a los espinores de Weyl).$\phi_{R}$tiene helicidad positiva y$\phi_{L}$tiene helicidad negativa...

Esta oración contiene dos declaraciones incorrectas, relacionadas entre sí.

Primero, en realidad las representaciones irreductibles "elementales"$\phi_{L/R}$se definen como los estados propios de la matriz de quiralidad$\gamma_{5}$. Este último define la forma en que los espinores se transforman en lorentz, y no tiene nada que ver con la helicidad siempre que la masa$m$no es cero En el límite de masa cero, la helicidad y la quiralidad coinciden formalmente.

Segundo,$\phi_{L/R}$no son espinores de Weyl. El espinor de Weyl es el que satisface una de las ecuaciones

$$\sigma_{\mu}\partial^{\mu}\psi = 0, \quad \tilde{\sigma}_{\mu}\partial^{\mu}\psi = 0, \ \ \text{where }\ \ \sigma_{\mu} = (1,\sigma), \ \tilde{\sigma}_{\mu} = (1,-\sigma)$$ Se define para describir partículas sin masa con helicidad definida, y no tiene nada que ver con los espinores. $\psi_{L/R}$dentro del espinor de Dirac mientras $m\neq 0$.

Considere la representación de Dirac de las matrices gamma, ahí tenemos

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix}$$ y las soluciones correspondientes a partículas estáticas y antipartículas $p_\mu = (\pm m,0,0,0)$son $$\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} e^{-imt}\,,\; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \epsilon \\ \delta \end{pmatrix} e^{imt}$$ dónde $\alpha, \beta, \epsilon, \delta$son algunas constantes. Por supuesto, estos estados propios aún corresponden a dos estados posibles para cada partícula/antipartícula y físicamente esto corresponde a la posibilidad de que la partícula tenga dos signos de espín intrínseco.

Pero primero veamos qué sucede si elegimos otra representación. En la representación quiral , tenemos

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix}$$ Cuando calculamos los estados estacionarios de partículas/antipartículas, ahora obtenemos $$\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ -\alpha \\ -\beta \end{pmatrix} e^{-imt}\,,\; \begin{pmatrix} \epsilon \\ \delta \\ \epsilon \\ \delta \end{pmatrix} e^{imt}$$ dónde $\alpha,\beta,\epsilon,\delta$son de nuevo algunas constantes. Entonces puede ver que aunque los componentes "superior" e "inferior" en la representación de Dirac corresponden a partículas frente a antipartículas, la imagen es bastante diferente en la representación quiral de matrices gamma.

Hay una cantidad infinita de representaciones posibles de las matrices gamma relacionadas por transformaciones unitarias y todo lo que discutamos sobre los componentes espinoriales dependerá de la representación elegida.

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Para completar el argumento, clasifiquemos los estados propios de energía en la representación de Dirac según su proyección de espín en un cierto eje. El operador de espín intrínseco está dado por$\Sigma^i = i \gamma^0 \gamma^i \gamma^5$en cualquier representación. En la representación de Dirac (así como en las otras dos representaciones principales quirales y de Majorana), el operador de espín termina como

$$\Sigma_i = \begin{pmatrix} \sigma_i & 0 \\ 0 & \sigma_i \end{pmatrix}$$ Elegimos ordenar nuestros estados de acuerdo con su componente z, porque lo más conveniente es que tengamos $$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Entonces vemos fácilmente que el componente superior de cada estado propio de energía en la representación de Dirac tiene una proyección positiva de espín en el eje z, mientras que el componente inferior corresponde a una partícula con una proyección negativa de espín en z. Pero repetiré una vez más que en la representación quiral o en cualquier otra interpretación interpretaríamos los componentes de manera bastante diferente.

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En cuanto a la respuesta que cita, allí se obtienen las soluciones para las partículas en movimiento al elegir estas estacionarias$\pm 1/2$girar estados y potenciarlos mediante una transformación de Lorentz en soluciones móviles.

En otras palabras, la interpretación de las soluciones

$$\psi_1(x)=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\\frac{p_z}{E+m}\\\frac{p_x+ip_y}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu) \,,\; \psi_2(x)=N_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\\frac{p_x-ip_y}{E+m}\\\frac{-p_z}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu)$$ $$\psi_3(x)=N_3\left(\begin{array}{c}\frac{p_z}{E-m}\\\frac{p_x+ip_y}{E-m}\\1\\0\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu)\,,\; \psi_4(x)=N_4\left(\begin{array}{c}\frac{p_x-ip_y}{E-m}\\\frac{-p_z}{E-m}\\0\\1\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu)$$ es que corresponden a partículas/antipartículas que, en su marco de reposo , tienen una proyección negativa/positiva de espín en el eje z.

Esta es una construcción común para la base de las soluciones generales de la ecuación de Dirac; en otros casos, las personas suelen optar por clasificar las soluciones según su quiralidad.

La ecuación de Dirac se resuelve utilizando el álgebra de Clifford, en particular las matrices gamma. Hay 16 matrices gamma 4x4 que forman la base requerida. Puede elegir qué base usar (principalmente dependiendo del problema de física que se resuelva) y es posible transformar entre bases.

En la base de Weyl (representación quiral de la ecuación de Dirac) la matriz gamma conocida convencionalmente como$\gamma^5$es diagonal$\gamma^5 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$. Cuando se aplica al espinor componente Dirac 4, en cualquier base lo descompondrá en dos partes, la mano izquierda y la mano derecha. En la base de Weyl, debido a que es diagonal, no mezclará las dos partes del espinor, por lo que podemos decir que los dos componentes superiores del espinor de Dirac representan el campo de la izquierda y los dos inferiores el derecho, es decir.

$\gamma^5\begin{pmatrix} \psi_R \\ \psi_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \psi_R \\ -\psi_L \end{pmatrix}$

En la base de Dirac, utilizada en su pregunta,$\gamma^0$es diagonal (y$\gamma^5$no es diagonal).

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$

$\gamma^0$es el operador de paridad (en todas las bases). Entonces, el espinor de Dirac se divide en dos partes en la base de Dirac, una con paridad par y otra con paridad impar.

Entonces, para responder a la pregunta, los componentes 3 y 4 de$\psi_{move}$representa la parte del espinor con paridad impar en esta solución.

En su pregunta, insinúa que quizás un electrón en movimiento contiene una combinación de estados de energía positivos y negativos. Este no es el caso. Las preguntas y respuestas en zitterbewegung discuten esto especialmente cuando se construyen paquetes de ondas a partir de estados.