¿La ecuación de Dirac pone la carga y el espín en el mismo plano?

Uno de los conceptos erróneos que existen sobre la ecuación de Dirac es que los 2 componentes de los 4 en total describen un electrón y los otros 2 describen un positrón. Esto no puede ser simplemente porque si uno acopla la ecuación de Dirac al campo electromagnético, todos los componentes se acoplan con la misma constante de acoplamiento incluyendo su signo.

$$(i\gamma^\mu p_{\mu} -m)\psi =0 \quad\rightarrow (i\gamma^\mu (p_{\mu}-eA_\mu) -m)\psi =0$$

dónde$p_\mu$son los componentes del 4-momentum y$A_\mu$son los componentes del potencial electromagnético de 4 vectores y$e$es la carga eléctrica elemental$e$que es lo mismo, incluido el signo para los 4 componentes.

Para lo siguiente, definimos soluciones de frecuencia positiva de la ecuación de Dirac que están asociadas con electrones y soluciones de frecuencia negativa que están "asociadas" con positrones (pero "asociación" no significa que sean idénticas a los positrones). Lo que realmente significa esta asociación se explica a continuación.

En realidad, las soluciones de positrones solo se obtienen cuando las soluciones de frecuencia negativa de la ecuación de Dirac se conjugan con carga con el operador de conjugación de carga$C$:

$$\psi_{positron}^{positive frequency} = C\bar{\psi}_{electron}^{negative frequency}$$

De acuerdo con la interpretación de los diagramas de Feynman, las soluciones de frecuencia negativa parecen electrones que retroceden en el tiempo. Estos pueden interpretarse como positrones que avanzan en el tiempo. Pero estas soluciones todavía corresponden a electrones que sólo por interpretación pueden ser considerados como positrones. Sin embargo, para hacerlo, las reglas de Feynman deben seguirse estrictamente, de modo que las soluciones de frecuencia negativa entren del futuro al pasado (en lugar de soluciones de frecuencia positiva del pasado al futuro) en el punto de interacción. Pueden, en virtud de la interpretación, considerarse como positrones salientes que corren hacia el futuro.

La expresión formal de una dispersión de una partícula en un potencial de interacción$V$de acuerdo con QM no relativista es

$$\psi^\ast_{outgoing} V \psi_{ingoing}$$

y esto es cierto para las partículas cargadas positiva y negativamente. Esto no cambia principalmente en QM relativista. Por ejemplo, la expresión formal de un vértice de un quark u disperso con carga negativa$-1/3$se vería como:

$$\bar{\psi}_u \gamma^\mu \psi_u$$

mientras que la expresión formal de un vértice de un d-quark disperso con carga positiva$2/3$se vería igual:

$$\bar{\psi}_d \gamma^\mu \psi_d$$

aunque las partículas son de diferente carga. La solución de la partícula saliente se encuentra en el lado izquierdo y la solución de la partícula entrante se encuentra en el lado derecho de la expresión (la matriz gamma). Tenga en cuenta que$\psi_{u/d} \sim \exp(-ipx)$, por lo que estas son partículas entrantes.

Sin embargo, un vértice de un antielectrón disperso (= positrón) debe escribirse de acuerdo con las reglas de Feynman como

$$\bar{v}\gamma^{\mu} v$$

Notable es aquí que la solución de frecuencia negativa$v$interpretado como "positrón saliente"$v$(es saliente porque$v\sim \exp(ipx)$) se encuentra en el lado derecho de la expresión formal del vértice y el "positrón entrante" así interpretado$\bar{v} \sim\exp(-ipx)$en el lado izquierdo de la matriz gamma en contraste con lo que se mostró antes.

Esto muestra que las soluciones de frecuencia negativa de las ecuaciones de Dirac no son realmente positrones, las verdaderas soluciones de positrones seguirían la regla que se demostró para los quarks. En realidad, uno puede usar las soluciones de frecuencia negativa conjugadas de carga de la ecuación de Dirac para una expresión formal de un vértice. Estas son verdaderas soluciones de positrones y siguen la misma regla que la demostrada para los quarks.

La conclusión es que un cambio de base aplicado a una solución de la ecuación de Dirac no mezcla espín con carga. La carga es la misma para los 4 componentes y no cambia con tal transformación.