¿Por qué las funciones de onda tienen que ser de un solo valor?

Hasta donde yo sé, cada vez que tiene una función de onda definida en el "mundo real", debe tener un solo valor, es decir, debe volver a la misma expresión después de un$2\pi$rotación (en el mundo real). Vemos en la vida real que$2\pi$las rotaciones son irrelevantes.

Sin embargo, este no es el caso de las funciones de onda definidas en espacios que no son nuestro espacio real, como el espacio de espín, por ejemplo. Los espinores cambian de signo después de un$2\pi$rotación por lo que en este sentido no son de un solo valor. También encontré un caso interesante cuando estaba leyendo sobre fases geométricas en sistemas moleculares. Usando la aproximación de Born-Oppenheimer, la función de onda total se divide en una función de onda electrónica y una nuclear. Como solo el total está "en el espacio real", tiene que ser de un solo valor, pero el electrónico y el nuclear por separado no tienen esta restricción. Ambos pueden cambiar de signo tras una evolución cíclica, con la condición de que su producto siga siendo el mismo.

Espero que ayude.

editar: por cierto, creo que el valor único de las cosas reales es la razón por la cual el momento angular orbital siempre toma valores enteros, aunque la teoría general del momento angular también permite valores medio enteros.

Las probabilidades se basan en el módulo de la función de onda, es decir, en$\psi^\star\psi$. En principio, esto permite, por ejemplo, funciones de onda de momento angular de valor doble con

En la práctica, las funciones de espín de doble valor no son muy agradables, pero se han utilizado (Pavšič, M (2007). "Rigid Particle and its Spin Revisited". Foundations of Phys. 37 (1): 40–79). Si su pregunta es realmente sobre valores enteros del momento angular, consulte Ballentine, LE (1998). Mecánica cuántica: un desarrollo moderno. pp. 169-172 para un argumento que no se basa en la suposición de un solo valor, ni en las matemáticas de álgebra de Lie más sofisticadas anteriores de Silvia G.

Con suerte, no está fuera de tema, pero creo que también puedo proporcionar un (esbozo de) explicación matemática de la diferencia entre las rotaciones en el espacio real y en el espacio de giro. En el espacio real tenemos una representación matricial tridimensional del grupo de rotación$SO(3)$, donde la rotación con$2\pi$corresponde a la matriz identidad. La función de onda en este caso es de un solo valor.

Cuando se trata de 1/2 giro, comenzamos con una representación bidimensional del álgebra de Lie de$SO(3)$, las matrices de Pauli. Sin embargo, no se puede exponenciar a una representación del grupo porque el grupo no es simplemente conexo. Será exponenciado a una representación del grupo cubriente universal de$SO(3)$, a saber, el grupo simplemente conexo$SU(2)$. Y de hecho esto conduce a una representación proyectiva de$SO(3)$, que es en realidad lo que queremos (tratamos con el espacio de estados, no con el propio espacio de Hilbert). Ahora,$SU(2)$es una doble cubierta de$SO(3)$, Mas o menos$SU(2)$está hecho de dos copias de$SO(3)$. Rotación con$2\pi$se envía a menos la matriz de identidad, mientras que la rotación con$4\pi$se envía a la matriz de identidad. Ambos se proyectan al mismo elemento en$SO(3)$. La función de onda en este caso no es de valor único, sino de valor doble.

Es una discusión similar con el grupo de Lorentz y$SL(2,\mathbb{C})$. Los espinores de Dirac también cambian de signo en$2\pi$rotaciones El libro de B. Thaller "La ecuación de Dirac" proporciona una discusión rigurosa de lo que traté de decir aquí con grupos de cobertura y cambios de signos.

Es así porque en caso de que tenga varios valores, dará lugar a diferentes probabilidades de encontrar la partícula en un punto dado del espacio en un momento dado, lo cual no es posible.