Operador de momento angular en términos de operadores de escalera

Primero una nota sobre la normalización. Al hacer expansiones de modo, por su propia cordura, debe usar la normalización relativista:

$$\alpha_p = \sqrt{2E_p} a_p$$

y lo mismo para el conjugado hermitiano. Esto hace que la expansión del modo sea una expansión manifiestamente invariante en términos de la medida invariante en la hipérbola.$d^3p\over 2E_p$y hace que todas las manipulaciones sean lo suficientemente transparentes como para hacerlas en la cabeza. Esto no es importante aquí, los operadores de escalera relativistas tienen una normalización de estado inusual, pero es indispensable para vincular los operadores de escalera con los métodos covariantes de Feynman que aprenderá más adelante.

El principal problema que tiene es cómo tratar con las derivadas de los operadores que producen estados singulares. Los estados producidos por$a_p$son funciones delta en el espacio de cantidad de movimiento, no son estados normalizados. Entonces, actuar con una derivada p produce una derivada de la función delta. Esta derivada de una función delta sirve para rotar p, como en el caso de la mecánica cuántica elemental.

La expresión que obtuviste es el operador que rota p en una cantidad infinitesimal. La forma de ver esto es usar L como un hamiltoniano y mover los operadores una cantidad infinitesimal por las ecuaciones de movimiento de Heisenberg (generar la transformación unitaria usando L_z, por ejemplo)

$${da_p\over ds} = i [L_z ,a_p] = p_x \partial_{p_y} a_p - p_y \partial_{p_x} a_p$$

Donde usas las relaciones de conmutación de a y a-daga. Esto se puede hacer intuitivamente si conoce la relación de conmutación del operador numérico$a^\dagger_p a_p$con$a_p$es solo$a_p$una vez más. La ecuación resultante para el efecto de transformación canónica en los operadores a se resuelve rotando el vector p del operador a alrededor del eje z

$$a_p(s) = a_{p(s)}$$

Donde el vector de momento giratorio gira alrededor del eje z

$$p_x(s) = p_x cos(s) - p_y sin(s)$$ $$p_y(s) = p_x \sin(s) + p_y cos(s)$$

Si diferencia el operador$a_{p(s)}$, encuentra la razón de cambio de$p_x$veces la derivada de$a$operador con respecto a$p_x$, más la tasa de cambio de$p_y$veces la derivada de$a$operador con respecto a$p_y$, que, cuando escribe las tasas de cambio de las p, reproduce el lado derecho de la transformación canónica.

Lo mismo vale para el$a^\dagger$, entonces el$L_z$operador hace lo mismo que el ejemplo no relativista, rota los operadores alrededor del eje z. La rotación de$a^\dagger_0$no hace nada porque el vector cero es rotacionalmente invariante, y obtienes que el$L_z$operador aniquila el estado$a^\dagger_0 |0>$.

Esta derivación es un poco tonta, probablemente querías una aplicación directa del operador al estado. Esto es complicado porque las derivadas singulares de la función delta están multiplicando la p que se desvanece justo en este punto. Sin embargo, si lo hace, obtiene la tasa de cambio de los componentes x e y del vector 0 bajo una rotación z, multiplicada por la derivada del operador a en las direcciones x e y, lo que da cero porque el primer factor es cero .

Debe tener en cuenta que es posible crear estados de momento angular distintos de cero con formas de onda que varían lentamente de forma arbitraria, pero no que tengan que desaparecer en el origen. Esta es la razón por la que el estado de impulso 0 es especial: no se desvanece en el origen.