Pregunta sobre el término de superficie en el problema QFT

Estoy tratando de seguir la solución del siguiente problema (Srednicki 39.2):

Para mostrar que:

$$J_z b_s^\dagger(p\hat z)|0\rangle=\frac{1}{2}\ s\ b_s^\dagger(p\hat z)\ |0\rangle,$$ dónde $J_z$es el momento angular en el $z$dirección, $b_s^\dagger$es el operador de creación del campo de Dirac, y $s$es el índice de espín (tomando los valores +1 y -1). Este problema muestra un caso particular: los valores propios de espín del estado correspondientes a una sola partícula que viaja en el $z$dirección son +1/2 y -1/2.

Usando la expresión del conmutador:

$[\Psi (x),M^{\mu \nu}] = -i(x^\mu \partial^\nu - x^\nu \partial^\mu)\Psi (x) + S^{\mu\nu}\Psi(x)$

dónde$M^{\mu\nu}$son los generadores infinitesimales del grupo de Lorentz y$J_z=M^{12}$, utilizando también el hecho de que:

$J_z |0\rangle =0 \rightarrow J_z b_s^\dagger(p\hat z)|0\rangle = [J_z, b_s^\dagger(p\hat z)]|0\rangle$

y usando finalmente la expresión del operador de creación en términos de los campos, llegamos a la siguiente expresión:

$J_z b_s^\dagger(pz)|0\rangle = \int d^3x\ e^{ipx^3}i(x^1\partial^2 -x^2\partial^1)\overline\Psi(x) \gamma^0 u_s(\vec p)|0\rangle + \int d^3x\ e^{ipx^3}\overline\Psi(x)S^{12} \gamma^0 u_s(\vec p)|0\rangle$

Ahora, el procedimiento estándar (que yo sepa) es mostrar que la primera integral se anula porque es equivalente a un "término de superficie" evaluado en el infinito, donde las condiciones de contorno asumidas para los campos son tales que se anulan en el infinito. suficientemente rapido. No tengo ningún problema en seguir el procedimiento a partir de este punto. Mi problema es precisamente con el "término superficial".

Puedo elaborar la primera integral un poco más. Notando que la exponencial es constante para el operador diferencial entre paréntesis, y que también$\gamma^0$y$u_s$son constantes para este operador, podemos escribir:

$i\int d^3x\ (x^1\partial^2 -x^2\partial^1)(\overline\Psi(x) \gamma^0\ e^{ipx^3})\ u_s(\vec p)\ |0\rangle$

¿Cómo pasar de esto a demostrar que esta integral es en realidad un término superficial y por lo tanto se anula?. ¿Tenemos que usar aquí algún tipo de teorema de Stokes?.

Probablemente sea una pregunta muy simple, pero estoy atascado en este punto. Simplemente no lo veo. Espero que alguien pueda ayudarme.