¿Cómo calcular el momento angular ordenado normal de un escalar real de Klein-Gordon en términos de operadores de escalera?

Question

¿Cómo calcular el momento angular ordenado normal de un escalar real de Klein-Gordon en términos de operadores de escalera?

usuario24999

Estoy tratando de calcular el momento angular

\begin{matrix} (1) & q_{i} = - 2 ϵ_{i j k} \int d^{3} X X^{k} T^{0 j} \end{matrix}

$Q_i=-2\epsilon_{ijk}\int{d^3x}\,x^kT^{0j}\tag{1}$ dónde

{T^{μ}}_{ν} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} \partial_{ν} ϕ - {δ^{μ}}_{ν} L

${T^\mu}_\nu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu\phi-{\delta^\mu}_\nu\mathcal{L}$ con el lagrangiano

L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2$ en el campo escalar real

ϕ = ϕ (x)

$\phi=\phi(x)$ .

Esta es básicamente la misma pregunta y estoy siguiendo las mismas conferencias de David Tong, pero la respuesta no me parece exitosa y no estoy seguro si tengo algún error o si mi pregunta es, en última instancia, sobre el pedido normal. Como se afirma allí, la expresión final de $Q_i$ en términos de operadores de escalera debe ser

\begin{matrix} (2) & q_{i} = - i ϵ_{i j k} \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} a_{\vec{pags}}^{†} ({pags}_{j} \frac{\partial}{\partial {pags}^{k}} - {pags}_{k} \frac{\partial}{\partial {pags}^{j}}) a_{\vec{pags}} \end{matrix}

$Q_i=-i\epsilon_{ijk}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} a^\dagger_\vec{p}\left(p_j\frac{\partial}{\partial{p}^k}-p_k\frac{\partial}{\partial{p}^j}\right) a_\vec{p}\tag{2}$ ¿Cómo se calcula esto correctamente?

Esto es lo que hice: Como $T^{0j}=\dot\phi\partial^j\phi$ y

\begin{aligned} (3) & ϕ = \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 {mi}_{\vec{pags}}}} (a_{\vec{pags}} {mi}^{i \vec{pags} \cdot \vec{X}} + a_{\vec{pags}}^{†} {mi}^{- i \vec{pags} \cdot \vec{X}}) \\ (4) & \dot{ϕ} = - i \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} \sqrt{\frac{{mi}_{\vec{pags}}}{2}} (a_{\vec{pags}} {mi}^{i \vec{pags} \cdot \vec{X}} - a_{\vec{pags}}^{†} {mi}^{- i \vec{pags} \cdot \vec{X}}) \\ (5) & \partial^{j} ϕ = - i \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} \frac{{pags}^{j}}{\sqrt{2 {mi}_{\vec{pags}}}} (a_{\vec{pags}} {mi}^{i \vec{pags} \cdot \vec{X}} - a_{\vec{pags}}^{†} {mi}^{- i \vec{pags} \cdot \vec{X}}) \end{aligned}

$\begin{align}\phi=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_\vec{p}}}\left(a_\vec{p} e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}+a^\dagger_\vec{p} e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}}\right)\tag{3}\\ \dot\phi=-i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{E_\vec{p}}{2}}\left(a_\vec{p} e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}-a^\dagger_\vec{p} e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}}\right)\tag{4}\\ \partial^j\phi=-i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{p^j}{\sqrt{2E_\vec{p}}}\left(a_\vec{p} e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}-a^\dagger_\vec{p} e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}}\right)\tag{5}\end{align}$ después

\begin{aligned} q_{i} = - 2 ϵ_{i j k} \int d^{3} X X^{k} {\dot{ϕ}}_{pags} (X) \partial^{j} ϕ_{q} (X) \\ = ϵ_{i j k} \sqrt{\frac{{mi}_{\vec{pags}}}{{mi}_{\vec{q}}}} \int \frac{d^{3} pags d^{3} q d^{3} X}{(2 π)^{6}} X^{k} q^{j} (a_{\vec{pags}} {mi}^{i \vec{pags} \cdot \vec{X}} - a_{\vec{pags}}^{†} {mi}^{- i \vec{pags} \cdot \vec{X}}) (a_{\vec{q}} {mi}^{i \vec{q} \cdot \vec{X}} - a_{\vec{q}}^{†} {mi}^{- i \vec{q} \cdot \vec{X}}) \\ (6) & = \dots (a_{\vec{pags}} a_{\vec{q}} {mi}^{i (\vec{pags} + \vec{q}) \cdot \vec{X}} + a_{\vec{pags}}^{†} a_{\vec{q}}^{†} {mi}^{- i (\vec{pags} + \vec{q}) \cdot \vec{X}} - a_{\vec{pags}} a_{\vec{q}}^{†} {mi}^{i (\vec{pags} - \vec{q}) \cdot \vec{X}} - a_{\vec{pags}}^{†} a_{\vec{q}} {mi}^{- i (\vec{pags} - \vec{q}) \cdot \vec{X}}) \end{aligned}

$\begin{align}&Q_i=-2\epsilon_{ijk}\int{d^3x}\,x^k\dot\phi_p(x)\partial^j\phi_q(x)\\ &=\epsilon_{ijk}\sqrt{\frac{E_\vec{p}}{E_\vec{q}}}\int\frac{d^3pd^3qd^3x}{(2\pi)^6}x^kq^j\left(a_\vec{p}e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}-a^\dagger_\vec{p}e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}}\right)\left(a_\vec{q}e^{i\vec{q}\cdot\vec{x}}-a^\dagger_\vec{q}e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}}\right)\\ &=\cdots\left(a_\vec{p}a_\vec{q}e^{i(\vec{p}+\vec{q})\cdot\vec{x}}+a_\vec{p}^{\dagger}a_\vec{q}^{\dagger}e^{-i(\vec{p}+\vec{q})\cdot\vec{x}}-a_\vec{p}a^\dagger_\vec{q}e^{i(\vec{p}-\vec{q})\cdot\vec{x}}-a^\dagger_\vec{p}a_\vec{q}e^{-i(\vec{p}-\vec{q})\cdot\vec{x}}\right)\tag{6}\end{align}$ Ahora,

\begin{aligned} (7) & \int d^{3} X X^{k} {mi}^{i (\vec{pags} \pm \vec{q}) \cdot \vec{X}} = \mp i \frac{\partial}{\partial {pags}^{k}} \int d^{3} X {mi}^{i (\vec{pags} \pm \vec{q}) \cdot \vec{X}} = \mp i (2 π)^{3} \frac{\partial}{\partial {pags}^{k}} d (\vec{pags} \pm \vec{q}) \end{aligned}

$\begin{align}\int{d^3x}\,x^ke^{i(\vec{p}\pm\vec{q})\cdot\vec{x}}=\mp{i}\frac{\partial}{\partial{p}^k}\int{d^3x}\,e^{i(\vec{p}\pm\vec{q})\cdot\vec{x}}=\mp{i}\,(2\pi)^3\frac{\partial}{\partial{p}^k}\delta(\vec{p}\pm\vec{q})\tag{7}\end{align}$ y entonces

\begin{aligned} q_{i} = - i ϵ_{i j k} & \sqrt{\frac{{mi}_{\vec{pags}}}{{mi}_{\vec{q}}}} \int \frac{d^{3} pags d^{3} q}{(2 π)^{3}} \\ (8) & q^{j} [(a_{\vec{pags}} a_{\vec{q}} - a_{\vec{pags}}^{†} a_{\vec{q}}^{†}) \frac{\partial}{\partial q^{k}} d (\vec{pags} + \vec{q}) + (a_{\vec{pags}} a_{\vec{q}}^{†} - a_{\vec{pags}}^{†} a_{\vec{q}}) \frac{\partial}{\partial q^{k}} d (\vec{pags} - \vec{q})] \end{aligned}

$\begin{align}Q_i=-i\epsilon_{ijk}&\sqrt{\frac{E_\vec{p}}{E_\vec{q}}}\int\frac{d^3pd^3q}{(2\pi)^3}\\&q^j\left[(a_\vec{p}a_\vec{q}-a^\dagger_\vec{p}a^\dagger_\vec{q})\frac{\partial}{\partial{q}^k}\delta(\vec{p}+\vec{q})+(a_\vec{p}a^\dagger_\vec{q}-a^\dagger_\vec{p}a_\vec{q})\frac{\partial}{\partial{q}^k}\delta(\vec{p}-\vec{q})\right]\tag{8}\end{align}$ Ahora, integrando por partes en

q

$q$ , por ejemplo, para el primer término

\begin{aligned} ϵ_{i j k} a_{\vec{pags}} \int d^{3} q q^{j} a_{\vec{q}} \frac{\partial}{\partial q^{k}} d (\vec{pags} + \vec{q}) & = - ϵ_{i j k} a_{\vec{pags}} \int d^{3} q q^{j} [\frac{\partial}{\partial q^{k}} a_{\vec{q}}] d (\vec{pags} + \vec{q}) \\ (9) & = ϵ_{i j k} a_{\vec{pags}} {pags}^{j} \frac{\partial}{\partial (- pags)^{k}} a_{- \vec{pags}} \end{aligned}

$\begin{align}\epsilon_{ijk}a_\vec{p}\int{d^3q}\,q^ja_\vec{q}\frac{\partial}{\partial{q}^k}\delta(\vec{p}+\vec{q})&=-\epsilon_{ijk}a_\vec{p}\int{d^3q}\,q^j\left[\frac{\partial}{\partial{q}^k}a_\vec{q}\right]\delta(\vec{p}+\vec{q})\\ &=\epsilon_{ijk}a_\vec{p}p^j\frac{\partial}{\partial(-p)^k}a_{-\vec{p}}\tag{9}\end{align}$ y aquí es donde difiero de la pregunta que mencioné al principio. Integrando todos los términos en

q

$q$ ,

\begin{aligned} q_{i} = - i ϵ_{i j k} & \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} \\ (10) & {pags}^{j} [a_{\vec{pags}} \frac{\partial}{\partial (- pags)^{k}} a_{- \vec{pags}} - a_{\vec{pags}}^{†} \frac{\partial}{\partial (- pags)^{k}} a_{- \vec{pags}}^{†} - a_{\vec{pags}} \frac{\partial}{\partial {pags}^{k}} a_{\vec{pags}}^{†} + a_{\vec{pags}}^{†} \frac{\partial}{\partial {pags}^{k}} a_{\vec{pags}}] \end{aligned}

$\begin{align}Q_i=-i\epsilon_{ijk}&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\\&p^j\left[a_\vec{p}\frac{\partial}{\partial(-p)^k}a_{-\vec{p}}-a^\dagger_\vec{p}\frac{\partial}{\partial(-p)^k}a^\dagger_{-\vec{p}}-a_\vec{p}\frac{\partial}{\partial{p}^k}a^\dagger_\vec{p}+a^\dagger_\vec{p}\frac{\partial}{\partial{p}^k}a_\vec{p}\right]\tag{10}\end{align}$ Ahora, supongo que los primeros dos términos desaparecen con la integración porque son extraños en

p

$p$ , partida

\begin{aligned} (11) & q_{i} = - i ϵ_{i j k} \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} {pags}^{j} [a_{\vec{pags}}^{†} \frac{\partial}{\partial {pags}^{k}} a_{\vec{pags}} - a_{\vec{pags}} \frac{\partial}{\partial {pags}^{k}} a_{\vec{pags}}^{†}] \end{aligned}

$\begin{align}Q_i=-i\epsilon_{ijk}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}p^j\left[a^\dagger_\vec{p}\frac{\partial}{\partial{p}^k}a_\vec{p}-a_\vec{p}\frac{\partial}{\partial{p}^k}a^\dagger_\vec{p}\right]\tag{11}\end{align}$ Entonces, si esta expresión es correcta, ¿cómo se ordena normalmente?

Lo que probé fue

\begin{aligned} : a_{\vec{pags}}^{†} (\partial_{k} a_{\vec{pags}}) - a_{\vec{pags}} (\partial_{k} a_{\vec{pags}}^{†}) : & = a_{\vec{pags}}^{†} (\partial_{k} a_{\vec{pags}}) - : a_{\vec{pags}} (\partial_{k} a_{\vec{pags}}^{†}) : \\ = a_{\vec{pags}}^{†} (\partial_{k} a_{\vec{pags}}) - (\partial_{k} a_{\vec{pags}}^{†}) a_{\vec{pags}} \\ (12) & = 2 a_{\vec{pags}}^{†} (\partial_{k} a_{\vec{pags}}) - \partial_{k} (a_{\vec{pags}}^{†} a_{\vec{pags}}) \end{aligned}

$\begin{align}:a^\dagger_\vec{p}(\partial_ka_\vec{p})-a_\vec{p}(\partial_ka^\dagger_\vec{p}):&=a^\dagger_\vec{p}(\partial_ka_\vec{p})-:a_\vec{p}(\partial_ka^\dagger_\vec{p}):\\ &=a^\dagger_\vec{p}(\partial_ka_\vec{p})-(\partial_ka^\dagger_\vec{p})a_\vec{p}\\ &=2a^\dagger_\vec{p}(\partial_ka_\vec{p})-\partial_k(a^\dagger_\vec{p}a_\vec{p})\tag{12}\end{align}$ (donde por supuesto estoy usando

\partial_{k} = \frac{\partial}{\partial p^{k}}

$\partial_k=\frac{\partial}{\partial{p}^k}$ ) que daría la respuesta correcta si

\partial_{k} (a_{\vec{p}}^{†} a_{\vec{p}}) = 0

$\partial_k(a^\dagger_\vec{p}a_\vec{p})=0$ . También me di cuenta de que

\partial_{k} (a_{\vec{p}}^{†} a_{\vec{p}}) = \partial_{k} (a_{\vec{p}} a_{\vec{p}}^{†})

$\partial_k(a^\dagger_\vec{p}a_\vec{p})=\partial_k(a_\vec{p}a^\dagger_\vec{p})$ ya que

[a_{\vec{p}}, a_{\vec{p}}^{†}] = (2 π)^{3} δ (0)

$[a_\vec{p},a^\dagger_\vec{p}]=(2\pi)^3\delta(0)$ . Sin embargo, no estoy muy seguro de lo que está pasando, si cometí un error antes o cómo hacer el pedido normal si eq. (11) tiene razón.

Respuestas (2)

¿Cómo calcular el momento angular ordenado normal de un escalar real de Klein-Gordon en términos de operadores de escalera?

knzhou · Answer 1

Casi todo es correcto excepto el razonamiento del paso (12). no es cierto que $\partial_{p_k} (a_\mathbf{p}^\dagger a_\mathbf{p}) = 0$ . En caso de que la diferenciación de un operador con respecto al momento no sea familiar, tenga en cuenta que se define como cualquier otra derivada,

\frac{\partial}{\partial {pags}_{k}} O (pags) \equiv \underset{ϵ \to 0}{límite} \frac{O (pags + ϵ \hat{k}) - O (pags)}{ϵ} .

$\frac{\partial}{\partial p_k} \mathcal{O}(\mathbf{p}) \equiv \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\mathcal{O}(\mathbf{p} + \epsilon \hat{\mathbf{k}}) - \mathcal{O}(\mathbf{p})}{\epsilon}.$ El operador

O (p) = a_{p}^{†} a_{p}

$\mathcal{O}(\mathbf{p}) = a_{\mathbf{p}}^\dagger a_{\mathbf{p}}$ claramente depende de que

p

$\mathbf{p}$ es, porque representa el número de partículas con momento

p

$\mathbf{p}$ . Entonces su derivada no se desvanece.

En cambio, tenga en cuenta que el término de error es

\int d pags {pags}^{j} \frac{\partial}{\partial {pags}_{k}} (a_{pags}^{†} a_{pags}) = \int d pags \frac{\partial}{\partial {pags}_{k}} ({pags}^{j} a_{pags}^{†} a_{pags}) - d^{j k} a_{pags}^{†} a_{pags} .

$\int d\mathbf{p} \, p^j \frac{\partial}{\partial p_k} (a_{\mathbf{p}}^\dagger a_{\mathbf{p}}) = \int d\mathbf{p} \, \frac{\partial}{\partial p_k} (p^j a_{\mathbf{p}}^\dagger a_{\mathbf{p}}) - \delta^{jk} a_{\mathbf{p}}^\dagger a_{\mathbf{p}}.$ El segundo término se desvanece por la antisimetría de

ϵ^{i j k}

$\epsilon^{ijk}$ , mientras que el primer término desaparece porque es solo la integral de una derivada total. Esto no es diferente a decir que

\int_{- \infty}^{\infty} d X \frac{d F}{d X} = 0

$\int_{-\infty}^\infty dx \, \frac{df}{dx} = 0$ salvo que la letra

x

$x$ ha sido reemplazado por

p

$p$ . Podrías protestar por eso

p^{j} a_{p}^{†} a_{p}

$p^j a_{\mathbf{p}}^\dagger a_{\mathbf{p}}$ no desaparece como

p \to \infty

$p \to \infty$ , pero a medida que los límites de integración llegan al infinito, los términos de los límites esencialmente cuentan el número de partículas de energía cada vez más alta, que llega a cero para cualquier configuración de energía finita. (Esto es un poco arrogante desde el punto de vista matemático, y este tipo de razonamiento podría fallar en otros contextos, pero es lo suficientemente bueno para el campo escalar libre).

Para completar la derivación muy explícitamente, después del orden normal nos queda

q_{i} = - 2 i ϵ_{i j k} \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} {pags}^{j} a_{\vec{pags}}^{†} \partial_{{pags}_{k}} a_{\vec{pags}} = - 2 i ϵ_{i j k} \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} a_{\vec{pags}}^{†} {pags}^{j} \partial_{{pags}_{k}} a_{\vec{pags}} .

$Q_i=-2 i\epsilon_{ijk}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} p^j a^\dagger_\vec{p} \partial_{p_k} a_\vec{p} = -2 i\epsilon_{ijk}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} a^\dagger_\vec{p} p^j \partial_{p_k} a_\vec{p}.$ Ya que

ϵ_{i j k}

$\epsilon_{ijk}$ es antisimétrica, sólo la parte de la integrando antisimétrica en

j

$j$ y

k

$k$ contribuye, dando

q_{i} = - i ϵ_{i j k} \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} a_{\vec{pags}}^{†} {pags}^{j} \partial_{{pags}_{k}} - {pags}^{k} \partial_{{pags}_{j}} a_{\vec{pags}} .

$Q_i= -i\epsilon_{ijk}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} a^\dagger_\vec{p} p^j \partial_{p_k} - p^k \partial_{p_j} a_\vec{p}.$ Esto es exactamente lo que queríamos mostrar.

Editar: para proporcionar aún más detalles, mostraremos cómo desaparecen los dos primeros términos no deseados en (10). El razonamiento declarado en el OP es incorrecto; los términos no desaparecen simplemente por simetría. El primer término es proporcional a

yo = \int d pags {pags}^{j} a_{pags} \frac{\partial}{\partial {pags}_{k}} a_{- pags} .

$I = \int d\mathbf{p} \, p^j a_p \frac{\partial}{\partial p_k} a_{-p}.$ Al cambiar las variables de

p \to - p

$p \to -p$ , encontramos eso

yo = \int d pags (- {pags}^{j}) a_{- pags} \frac{\partial}{\partial (- pags)_{k}} a_{pags} = \int d pags {pags}^{j} a_{- pags} \frac{\partial}{\partial {pags}_{k}} a_{pags} = \int d pags {pags}^{j} (\frac{\partial}{\partial {pags}_{k}} a_{pags}) a_{- pags}

$I = \int d\mathbf{p} \, (-p^j) a_{-p} \frac{\partial}{\partial (-p)_k} a_p = \int d\mathbf{p} \, p^j a_{-p} \frac{\partial}{\partial p_k} a_p = \int d\mathbf{p} \, p^j \left(\frac{\partial}{\partial p_k} a_p\right) a_{-p}$ desde la bajada de los operadores conmutan. Por lo tanto, sumando estas dos expresiones,

2 yo = \int d pags {pags}^{j} \frac{\partial}{\partial {pags}_{k}} (a_{pags} a_{- pags}) .

$2I = \int d\mathbf{p} \, p^j \frac{\partial}{\partial p_k} (a_p a_{-p}).$ Como antes, integramos por partes. El término con

\partial p^{j} / \partial p_{k} = δ^{j k}

$\partial p^j / \partial p_k = \delta^{jk}$ de nuevo se desvanece por la antisimetría de

ϵ^{i j k}

$\epsilon^{ijk}$ . Se puede argumentar que el término límite restante no tiene ninguna contribución para las contribuciones de energía finita, es decir, sus elementos de matriz entre cualquiera de estas dos configuraciones se desvanece. El mismo argumento se puede aplicar al segundo término en (10).

Ok, eso aclara muchas cosas. Sin embargo, los dos primeros términos de (10) no contienen integrandos impares. ¿Cómo demostrar que tienen una cotización cero?
En el razonamiento utilizado para mostrar que lo que usted llama el 'término de error' se desvanece, no consideró el factor $p^j$ . Sin embargo, no cambia el resultado. Se puede utilizar la integración parcial y el hecho de que $\epsilon_{ijk}\frac{\partial p^j}{\partial p_k}=0$ para llegar al resultado de que este término no contribuye.
@jac ¡Gracias por la captura! Edité para abordar esos dos términos adicionales.
"desde la reducción de los operadores conmutan" debería ser "desde la reducción de los operadores y $\frac {\partial}{\partial p_k} conmutan. Todo claro para mí ahora.
@jac No, dije eso porque viajé $a_{-p}$ a la derecha en el último paso.

cal gibson · Answer 2

Lo que hiciste me parece bien, y de hecho puedes demostrar que $\frac{\partial}{\partial{p}^k}(a_\vec{p}^\dagger{a}_\vec{p})=0$ , solo toma las definiciones

a_{\vec{pags}} = \int d^{3} X {mi}^{- i \vec{pags} \cdot \vec{X}} [\frac{{mi}_{\vec{pags}}}{2} ϕ (\vec{X}) + \frac{i}{{mi}_{\vec{pags}}} \dot{ϕ} (\vec{X})] a_{\vec{pags}}^{†} = \int d^{3} X {mi}^{i \vec{pags} \cdot \vec{X}} [\frac{{mi}_{\vec{pags}}}{2} ϕ (\vec{X}) - \frac{i}{{mi}_{\vec{pags}}} \dot{ϕ} (\vec{X})]

$a_\vec{p}=\int{d^3x}\,e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}}\left[\frac{E_\vec{p}}{2}\phi(\vec{x})+\frac{i}{E_\vec{p}}\dot\phi(\vec{x})\right]\\ a_\vec{p}^\dagger=\int{d^3x}\,e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}\left[\frac{E_\vec{p}}{2}\phi(\vec{x})-\frac{i}{E_\vec{p}}\dot\phi(\vec{x})\right]$ que debería poder obtener de sus ecuaciones (3) y (4), y usar

\partial_{x} (A B) = A (\partial_{x} B) + (\partial_{x} A) B

$\partial_x(AB)=A(\partial_x{B})+(\partial_x{A}){B}$ ; como los operadores de escalera no serán conmutados, los dos términos en el RHS diferirán solo por un signo, el negativo que sale con el operador de aniquilación.

Usted dice que los dos diferirán solo en un signo, pero esto no es del todo cierto, ya que obtiene algo así como (sin los factores ~) para la derivada de la onda plana $p_k$ : $i (X - y) mi X pags (i pags (X - y)) * (ϕ (X) ϕ (y) + \dot{ϕ} (X) \dot{ϕ} (y) + i / 2 (\dot{ϕ} (X) ϕ (y) - ϕ (X) \dot{ϕ} (y)))$ $i(x-y)exp(ip(x-y))*(\phi(x)\phi(y)+\dot{\phi}(x)\dot{\phi}(y)+i/2(\dot{\phi}(x)\phi(y)-\phi(x)\dot{\phi}(y)))$ y para el otro: $mi X pags (i pags (X - y)) * (({pags}_{k} / 4) ϕ (X) ϕ (y) - ({pags}_{k} / ({mi}_{k}^{2}) \dot{ϕ} (X) \dot{ϕ} (y))$ $exp(ip(x-y))*((p_k/4)\phi(x)\phi(y)-(p_k/(E_k^2)\dot{\phi}(x)\dot{\phi}(y))$ y no es obvio para mi que estos cancelen integrando wrt $x$ y $y$ .

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usuario24999

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