¿Cuántas partículas en ϕ0(x)2|0⟩ϕ0(x)2|0⟩\phi_0(x)^2|0\rangle?

Question

¿Cuántas partículas en ϕ0(x)2|0⟩ϕ0(x)2|0⟩\phi_0(x)^2|0\rangle?

Virgo

En "QFT y el modelo estándar" de Schwartz en la página 22, escribe:

Un estado de dos o cero partículas como en $\phi_0(x)^2\left|0\right>$ .

Me preguntaba cómo se puede probar esto. Traté de comprobar si $\phi_0(x)^2\left|0\right>$ era un estado propio del operador numérico

norte = \int \frac{d^{3} pag a_{pag}^{†} a_{pag}}{(2 π)^{3}} .

$N=\int \frac{ d^3 p a_p{}^{\dagger } a_p }{(2 \pi )^3}.$

Pero acaba de recibir:

norte ϕ_{0} (0)^{2} | 0 ⟩ = \int \frac{d^{3} k d^{3} q}{(2 π)^{3} \sqrt{ω_{k} ω_{q}}} 2 (a_{\overset{⇀}{k}}^{†} a_{\overset{⇀}{q}}^{†}) | 0 ⟩,

$N \phi_0 (0)^2|0\rangle=\int \frac{d^3 kd^3 q}{(2 \pi )^3 \sqrt{\omega _k \omega _q}}2 \left(a_{\overset{\rightharpoonup }{k}}{}^{\dagger } a_{\overset{\rightharpoonup }{q}}{}^{\dagger }\right)|0\rangle,$

lo cual no puedo ver cómo esto se traduce en la declaración de Schwartz.

Meng Cheng

esquemáticamente

ϕ (x) \sim a_{p} + a_{p}^{†}

$\phi(x)\sim a_p + a_p^\dagger$ (Con algo

e^{i p x}

$e^{ipx}$ factores, no importantes para contar). Entonces

ϕ^{2} \sim a^{†} a^{†} + a^{†} a + a a^{†} + a a

$\phi^2\sim a^\dagger a^\dagger + a^\dagger a + aa^\dagger + aa$ . Desde

ϕ^{2}

$\phi^2$ actúa sobre

| 0 ⟩

$|0\rangle$ , podemos tirar

a a

$aa$ y

a^{†} a

$a^\dagger a$ (es decir, pedidos normales), y nos quedamos con

a^{†} a^{†} + a a^{†}

$a^\dagger a^\dagger + aa^\dagger$ . El primer término crea dos partículas, el segundo término no cambia el número de partículas.

Respuestas (1)

¿Cuántas partículas en ϕ0(x)2|0⟩ϕ0(x)2|0⟩\phi_0(x)^2|0\rangle?

esquemáticamente $\phi(x)\sim a_p + a_p^\dagger$ (Con algo $e^{ipx}$ factores, no importantes para contar). Entonces $\phi^2\sim a^\dagger a^\dagger + a^\dagger a + aa^\dagger + aa$ . Desde $\phi^2$ actúa sobre $|0\rangle$ , podemos tirar $aa$ y $a^\dagger a$ (es decir, pedidos normales), y nos quedamos con $a^\dagger a^\dagger + aa^\dagger$ . El primer término crea dos partículas, el segundo término no cambia el número de partículas.

Bosoneando · Answer 1

El operador de campo se puede dividir en dos partes, una con frecuencia positiva y otra con frecuencia negativa

ϕ (X) = ϕ^{+} (X) + ϕ^{-} (X)

$\phi(x) = \phi^+(x) + \phi^-(x)$

ϕ^{+} (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3} \sqrt{2 ω_{pag}}} a_{pag} {mi}^{- i pag X} ϕ^{-} (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3} \sqrt{2 ω_{pag}}} a_{pag}^{†} {mi}^{i pag X}

$\phi^+(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_p}} a_p e^{-ipx}\qquad \phi^-(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_p}} a_p^\dagger e^{ipx}$ Como puede ver, la parte de frecuencia positiva

ϕ^{+} (x)

$\phi^+(x)$ es una combinación lineal de operadores de aniquilación

a_{p}

$a_p$ (así que mata una partícula), y la parte de frecuencia negativa

ϕ^{-} (x)

$\phi^-(x)$ es una combinación de operadores de creación

a_{p}^{†}

$a_p^\dagger$ , por lo que crea una partícula.

\begin{aligned} norte ϕ^{+} (X) | 0 ⟩ = 0 & norte ϕ^{-} (X) | 0 ⟩ = ϕ^{-} | 0 ⟩ \\ norte ϕ^{-} (X)^{2} | 0 ⟩ = 2 ϕ^{-} (X)^{2} | 0 ⟩ & norte ϕ^{+} (X) ϕ^{-} (X) | 0 ⟩ = 0 \end{aligned}

$\begin{align}N\phi^+(x)|0\rangle = 0 &\qquad N \phi^-(x)|0\rangle = \phi^-|0\rangle \\ N\phi^-(x)^2|0\rangle = 2 \phi^-(x)^2|0\rangle &\qquad N\phi^+(x)\phi^-(x)|0\rangle=0\end{align}$

Entonces tu estado es

\begin{aligned} ϕ (X)^{2} | 0 ⟩ = & [ϕ^{+} (X) + ϕ^{-} (X)] [ϕ^{+} (X) + ϕ^{-} (X)] | 0 ⟩ \\ = & ϕ^{+} (X)^{2} | 0 ⟩ + ϕ^{+} (X) ϕ^{-} (X) | 0 ⟩ + ϕ^{-} (X) ϕ^{+} (X) | 0 ⟩ + ϕ^{-} (X)^{2} | 0 ⟩ \\ = & ϕ^{-} (X)^{2} | 0 ⟩ + ϕ^{+} (X) ϕ^{-} (X) | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\phi(x)^2|0\rangle =& [\phi^+(x) + \phi^-(x)][\phi^+(x) + \phi^-(x)]|0\rangle\\ =& \phi^+(x)^2|0\rangle + \phi^+(x)\phi^-(x)|0\rangle + \phi^-(x)\phi^+(x)|0\rangle + \phi^-(x)^2|0\rangle \\ =& \phi^-(x)^2|0\rangle + \phi^+(x)\phi^-(x)|0\rangle\end{align}$

que no es un estado propio del operador numérico, porque es una superposición de un estado con dos partículas y un estado con cero partículas. Esto es lo que significa "o" en la cita de Schwartz

Un estado de dos o cero partículas como en $\phi(x)^2|0\rangle$

Gracias, eso es muy útil. ¿Deberían intercambiarse + y - en esa última línea?
No. Desde $\phi^+(x)$ es un operador de aniquilación, $\phi^+(x)|0\rangle = 0$ , y por lo tanto $\phi^-(x)\phi^+(x)|0\rangle = 0$ . Por otra mano, $\phi^+(x)\phi^-(x)|0\rangle \neq 0$
Una pregunta más: no debería $norte {ϕ^{+}}^{2} (X) | 0 ⟩ = 2 {ϕ^{+}}^{2} (X) | 0 ⟩$ $N{\phi^+}^2(x)|0\rangle = 2 {\phi^+}^2(x)|0\rangle$ ser $norte {ϕ^{-}}^{2} (X) | 0 ⟩ = 2 {ϕ^{-}}^{2} (X) | 0 ⟩$ $N{\phi^-}^2(x)|0\rangle = 2 {\phi^-}^2(x)|0\rangle$ ?

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Virgo

Meng Cheng

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