no es tanto esoϵyo k _(a†ja†k−ajak)
es cero, pero que cada uno de esos términos desaparece por sí solo:
ambosϵyo k _a†ja†k= 0yϵyo k _ajak= 0 ,
porque esos operadores viajan diariamente, así que
ajak=akaj
y lo mismo para las dagas, y para cada par con
j ≠ k
tienes un término correspondiente con el signo opuesto en el tensor de Levi-Civita. Así, digamos, por
yo = 1
, el término de doble aniquilación dice
ϵ1 jk _ajak=a2a3−a3a2= 0 ,
y lo mismo para los demás componentes y el término de doble creación.
Lo mismo sucede con los otros dos términos, porque te queda hasta ahora
Li=ℏ2 yoεyo k _(a†ja†k−a†ja†k) ,
pero los dos términos son esencialmente idénticos. Para ver esto, toma el segundo término y voltea el
j
y
k
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ℏ2 yoεyo k _a†ja†k=ℏ2 yoεyo k ja†ka†j=ℏ2 yoεyo k j(a†ja†k+ yodj k)= −ℏ2 yoεyo k _a†ja†k+ℏ2εyo k jdj k= −ℏ2 yoεyo k _a†ja†k,
dónde
εyo k jdj k= 1 − 1 = 0
desaparece Poniendo esto de nuevo en la expresión completa, obtienes
Li=ℏ2 yoεyo k _(a†ja†k+a†ja†k) = − yo ℏεyo k _a†ja†k
como se afirmó anteriormente.
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Emilio Pisanty
ZeroTheHero