¿Cómo utilizar los operadores de escalera?

Estoy estudiando para un examen de mecánica cuántica y me cuesta entender cómo usar los operadores de escalera . No hay ejemplos en mi libro de texto, solo definiciones que no puedo entender cómo usar, así que espero que me puedas ayudar.

Entonces, hay una tarea en la que se supone que debes calcular la corrección de primer orden al estado fundamental usando operadores de escalera. En la respuesta correcta dicen que

mi 0 1 = ⟨ 0 | H ′ | 0 ⟩

¿De dónde vienen los ceros? Entiendo que vienen de la función de onda. ψ . Pero realmente no entiendo la teoría detrás de esto.

Luego, después de algunos cálculos, está escrito en la respuesta correcta.

⟨ 0 | a a † a † | 0 ⟩ + ⟨ 0 | a a a † a † | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a a † a | 1 ⟩ + ⟨ 0 | a a a † | 1 ⟩

¿Cuáles son las reglas matemáticas de estos operadores de escalera? ¿Cómo se convirtieron estos ceros en unos?

Realmente agradecería si alguien pudiera ayudarme a entender esto un poco mejor.

Respuestas (2)

El | 0 ⟩ representa la función de onda del estado fundamental. Si consideramos el oscilador armónico, sabemos que la función de onda toma la forma

ψ ( X ) = 1 2 norte norte ( metro ω ℏ π ) 1 / 4 mi − metro ω X 2 / 2 ℏ ⋅ H norte ( metro ω ℏ X )
dónde H norte ( X ) es el polinomio de Hermite . La solución a la ecuación de Schrödinger, H ^ ψ = mi norte ψ , da la energía como
mi norte = ℏ ω ( norte + 1 2 )

Desde ψ tiene una forma bastante complicada, es más fácil representarlo como un ket: ψ → | norte ⟩ , ya que la energía realmente depende de norte . El valor más bajo norte puede ser es 0, por lo que el estado fundamental es | 0 ⟩ .

Los operadores de escalera suben y bajan el índice. norte en el estado propio:

a | norte ⟩ = norte | norte − 1 ⟩ a † | norte ⟩ = norte + 1 | norte + 1 ⟩
Cuando te aplicas el sostén ⟨ norte | a lo anterior, obtenemos
⟨ norte | a | norte ⟩ = norte + 1 ⟨ norte | norte − 1 ⟩ = 0 ⟨ norte | a † | norte ⟩ = norte ⟨ norte | norte + 1 ⟩ = 0
porque cada uno | norte ⟩ es ortogonal al estado | metro ⟩ si metro ≠ norte . Si hiciéramos subir y bajar, tendríamos
⟨ norte | a a † | norte ⟩ = norte + 1 ⟨ norte | a | norte + 1 ⟩ = norte + 1 ⋅ norte + 1 ⟨ norte | norte ⟩ = norte + 1

Para su asignación, puede separar los operadores como

a a a † a † | 0 ⟩ = ( a a a † ) a † | 0 ⟩
Y luego usando la relación anterior, encontramos
a † | 0 ⟩ = 0 + 1 | 0 + 1 ⟩ = | 1 ⟩
Ahora podemos actuar el siguiente operador en esto,
a † | 1 ⟩ = 1 + 1 | 1 + 1 ⟩ = 2 | 2 ⟩
Los dos últimos nos dan un resultado de
a a a † a † | 0 ⟩ = 2 | 0 ⟩
Cerrando esto con ⟨ 0 | , obtenemos
⟨ 0 | a a a † a † | 0 ⟩ = 2 ⟨ 0 | 0 ⟩ = 2

Bien, 0 es el estado fundamental de la función de onda y es como el primer peldaño de la escalera física y se designa como 0 en su caso y cuando opere el operador de bajada " a " en él, lo llevará al estado negativo, pero eso está prohibido, por lo que obtendrá su respuesta como cero. Y cuando opere el operador de elevación " a + " en él, entonces simplemente se moverá un paso hacia arriba al primer estado excitado que fue designado como 1 en tu caso. Entonces, en principio, al aplicar el operador de elevación, puede ir a estados excitados infinitamente más altos, pero al aplicar el operador de reducción, puede ir a estados más bajos hasta llegar al último peldaño que significa el estado fundamental o el 0 th estado y después de eso está prohibido. Espero que puedas ponerte al día ahora.

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