Oscilador armónico isotrópico tridimensional hamiltoniano

La respuesta la da Prahar en sus comentarios:

$$\begin{equation} {\bf T} \cdot {\bf T}^\dagger= {\rm T}_{1}{\rm T}^\dagger_{1}+{\rm T}_{2}{\rm T}^\dagger_{2}+{\rm T}_{3}{\rm T}^\dagger_{3} \tag{01} \end{equation}$$ Para $k=1,2,3$⁽¹⁾ $$\begin{equation} {\rm T}_{k}{\rm T}^\dagger_{k}=\dfrac{1}{2\hbar}\left(\sqrt{m\omega}\ {\rm R}_{k}-\dfrac{i}{\sqrt{m\omega}} {\rm P}_{k}\right)\left(\sqrt{m\omega}\ {\rm R}_{k}+\dfrac{i}{\sqrt{m\omega}} {\rm P}_{k}\right) \tag{02} \end{equation}$$

$$\begin{equation} {\rm T}_{k}{\rm T}^\dagger_{k}= \dfrac{1}{2\hbar}\left(m\omega {\rm R}_{k}^2+\underbrace{i{\rm R}_{k} {\rm P}_{k}-i{\rm P}_{k}{\rm R}_{k}}_{-\hbar}+\dfrac{ {\rm P}_{k}^2}{m\omega}\right) \tag{03} \end{equation}$$ etc..... $$\begin{equation} \mathbf{T}\mathbf{T}^\dagger = \dfrac{1}{2\hbar}\left(m\omega\mathbf{R}^2-3\hbar+\dfrac{\mathbf{P}^2}{m\omega}\right)=\dfrac{1}{\hbar\omega}\left(H-\dfrac{3\hbar \omega}{2}\right) \tag{04} \end{equation}$$

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^{(1) En las siguientes ecuaciones (02) y (03) se supone que no hacemos uso de la convención de suma de Einstein para índices repetidos.}