Prueba de la relación del conmutador [H^,a^]=−ℏωa^[H^,a^]=−ℏωa^[\hat{H},\hat{a}] = - \hbar \omega \hat{a}

Sé cómo derivar las siguientes ecuaciones que se encuentran en wikipedia y también lo he hecho yo mismo:

$$\begin{align} \hat{H} &= \hbar \omega \left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right)\\ \hat{H} &= \hbar \omega \left(\hat{a}\hat{a}^\dagger - \frac{1}{2}\right)\\ \end{align}$$

dónde$\hat{a}=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{P} - i \hat{X}\right)$es un operador de aniquilación y$\hat{a}^\dagger=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{P} + i \hat{X}\right)$un operador de creación. Permítanme escribir también que:

$$\begin{align} \hat{P}&= \frac{1}{p_0}\hat{p} = -\frac{i\hbar}{\sqrt{\hbar m \omega}} \frac{d}{dx}\\ \hat{X}&=\frac{1}{x_0} \hat{x}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \end{align}$$

Para continuar necesito una prueba de que los operadores$\hat{a}$y$\hat{a}^\dagger$dar un siguiente conmutador con hamiltoniano$\hat{H}$:

$$\begin{align} \left[\hat{H},\hat{a} \right] &= -\hbar\omega \, \hat{a}\\ \left[\hat{H},\hat{a}^\dagger \right] &= +\hbar\omega \, \hat{a}^\dagger \end{align}$$

Estas declaraciones se pueden encontrar en wikipedia y aquí , pero en ninguna parte se prueba que las relaciones anteriores para el conmutador realmente se cumplan. Traté de derivar$\left[\hat{H},\hat{a} \right]$y mi resultado fue:

$$\left[\hat{H},\hat{a} \right] \psi = -i \sqrt{\frac{\omega \hbar^3}{4m}}\psi$$

Debe saber que este es el tercer conmutador que he calculado, por lo que probablemente sea incorrecto, pero aquí hay una foto de mi intento en papel. Apreciaría si alguien tiene algún enlace a una prueba de las relaciones del conmutador (uno lo hará) o podría publicar una prueba aquí.