Conceptos básicos de mecánica cuántica: espacio del producto

Question

Conceptos básicos de mecánica cuántica: espacio del producto

Nilanjan

Considere un oscilador armónico acoplado con su posición dada por $x_1$ y $x_2$ . Di las coordenadas normales $x_{\pm}={1\over\sqrt{2}} (x_1\pm x_2)$ , en el que existen los osciladores armónicos desacoplados.

Cuando cuantificas esta teoría, los operadores correspondientes son $\hat x_1,~ \hat x_2,~ \hat x_{\pm}$ . los operadores $\hat x_1,~\hat x_2$ viajes diarios y

{\hat{X}}_{\pm} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{X}}_{1} \otimes {\hat{1}}_{2} \pm {\hat{1}}_{1} \otimes {\hat{X}}_{2}),

$\hat x_{\pm}\equiv{1\over\sqrt{2}} (\hat x_1 \otimes \hat 1_2 \pm \hat 1_1\otimes \hat x_2),$ dónde

{\hat{1}}_{1}, {\hat{1}}_{2}

$\hat 1_1,~\hat 1_2$ son operadores de identidad. Entonces este operador

{\hat{x}}_{\pm}

$\hat x_{\pm}$ actúa en una base de producto directo dado por

| X_{1}, X_{2} ⟩ = | X_{1} ⟩ \otimes | X_{2} ⟩

$|x_1,x_2\rangle=|x_1\rangle \otimes |x_2\rangle$ dónde

| x_{1} ⟩

$|x_1\rangle$ y

| x_{2} ⟩

$|x_2\rangle$ son estados propios de

{\hat{x}}_{1}

$\hat x_1$ y

{\hat{x}}_{2}

$\hat x_2$ respectivamente.

pero el estado $|x_1,x_2\rangle$ es estado propio de ambos $\hat x_{\pm}$ .

¿Cómo podemos construir estados propios únicos del operador? $\hat x_{\pm}$ en la base $|x_1,x_2\rangle$ ? ¿O es que no es posible?

usuario10851

Nitpicking: "producto directo" (

\times

$\times$ )

\neq

$\neq$ "producto tensorial" (

\otimes

$\otimes$ ) para espacios vectoriales o más generalmente módulos . De hecho, para un número finito de espacios "(co)producidos", el producto directo es equivalente a la "suma directa" (

\oplus

$\oplus$ ).

Respuestas (2)

Conceptos básicos de mecánica cuántica: espacio del producto

Nitpicking: "producto directo" ( $\times$ ) $\neq$ "producto tensorial" ( $\otimes$ ) para espacios vectoriales o más generalmente módulos . De hecho, para un número finito de espacios "(co)producidos", el producto directo es equivalente a la "suma directa" ( $\oplus$ ).

Malabarba · Answer 1

Ambos $\hat{x}_{\pm}$ viajar con los dos $\hat{x}$ (producto con identidad). Entonces (como usted verificó) comparten un conjunto común de vectores propios.

En este caso, el conjunto contiene cualquier producto de dos estados propios de posición. Por eso cualquier estado $|x,y\rangle$ es un vector propio de los cuatro operadores.

Así que supongo que la respuesta final es: No, eso no es posible.

joshfísica · Answer 2

Como usted nota, los estados $|x_1, x_2\rangle$ son estados propios de $x_\pm$ ;

{\hat{X}}_{\pm} | X_{1}, X_{2} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (X_{1} + X_{2}) | X_{1}, X_{2} ⟩

$\hat x_\pm |x_1, x_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(x_1 + x_2)|x_1,x_2\rangle$ Además, estos estados forman una base ortonormal (en el sentido de Dirac) para el producto tensorial del espacio de Hilbert. De ello se deduce que cada vector propio de cualquiera de estos operadores debe ser un múltiplo escalar de uno de los estados

| x_{1}, x_{2} ⟩

$|x_1, x_2\rangle$ .

Para ver esto, supongamos que hay un estado $|\psi\rangle$ que no es múltiplo escalar de uno de los vectores $|x_1, x_2\rangle$ , entonces existe algún otro $|x_1',x_2'\rangle$ y números complejos distintos de cero $a$ y $b$ para cual

| ψ ⟩ = a | X_{1}, X_{2} ⟩ + b | X_{1}^{'}, X_{2}^{'} ⟩

$|\psi\rangle = a|x_1,x_2\rangle + b|x_1',x_2'\rangle$ y por lo tanto

{\hat{X}}_{\pm} | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (a (X_{1} + X_{2}) | X_{1}, X_{2} ⟩ + b (X_{1}^{'} + X_{2}^{'}) | X_{1}^{'}, X_{2}^{'} ⟩)

$\hat x_\pm|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(a(x_1 + x_2)|x_1,x_2\rangle + b(x_1'+x_2')|x_1',x_2'\rangle\right)$ este estado no es un vector propio de

x_{\pm}

$x_{\pm}$ a menos que

x_{1}^{'} + x_{2}^{'} = x_{1} + x_{2}

$x_1'+x_2' = x_1 + x_2$ .

Editar. En respuesta al comentario a continuación, la siguiente declaración es falsa:

en esta base, ambos estados propios de x± son iguales. Entonces implica x^+=x^−

¡Dos operadores que tienen una base propia simultánea no significa que sean iguales! Lo que importa es la acción de estos operadores en cada uno de estos estados básicos. En el caso que nos ocupa, los valores propios de $\hat x_+$ y $\hat x_-$ son distintos, por lo que podemos ver claramente que son operadores distintos.

Estoy de acuerdo contigo y con la respuesta anterior de Bruce Connor.
@ usuario27470 Genial. ¿Esta respuesta no responde a la pregunta? ¿Quizás lo malinterpreté?
Estoy de acuerdo contigo y con la respuesta anterior de Bruce Connor. Para ser más claro acerca de mi pregunta, consideremos que el producto hilbert space se llama $H=H_1 \otimes H_2$ . Claramente $\hat x_{\pm}$ son operadores en el espacio de hilbert $H$ . Una de las posibles bases de $H$ es $|x_1,x_2>$ . Lo que me confunde es que pensé que cada estado propio del operador en $H$ se puede expresar como una combinación lineal de sus estados base, aquí una opción son los estados simples $|x_1,x_2>$ . Pero en esta base tanto los estados propios de $x_{\pm}$ son idénticos. por lo que implica $\hat x_+=\hat x_-$ . ¡Pero sabemos que esto no puede ser cierto!
La primera respuesta fue por error. Estás en lo correcto. estoy de acuerdo contigo pero no responde mi pregunta
Muchas gracias. De alguna manera olvidé que un operador se define por sus valores propios y vectores propios. Estoy de acuerdo en que es un error pensar que está determinado por uno de ellos. Gracias de nuevo ya que esta tonta confusión me estaba dando dolor en algún otro cálculo.

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Nilanjan

usuario10851

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Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

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