Teorema virial y método variacional: una pregunta

Tengo un átomo hidrogenado, sabiendo que su función de onda de estado fundamental tiene la forma estándar

ψ = A mi − β r
con A = β 3 π , tengo que encontrar el mejor valor para β (usando el método variacional). Después de haber incluido la corrección de Darwin
H D = D d ( r )
con D = α 2 π Z 2 , en el hamiltoniano
H 0 = − 1 2 ∇ 2 − Z r

calculé

⟨ ψ ( β ) | − ∇ 2 2 | ψ ( β ) ⟩ = ⟨ ψ ( β ) | T | ψ ( β ) ⟩ = β 2 2
entonces pensé en usar el teorema del virial para calcular la parte ⟨ V ⟩ :
⟨ ψ ( β ) | − Z r | ψ ( β ) ⟩ = ⟨ ψ ( β ) | V | ψ ( β ) ⟩ = − 2 ⟨ ψ ( β ) | T | ψ ( β ) ⟩ = − β 2
dejando que la parte de Darwin se calcule fácilmente.

Mirando las soluciones que escribió mi profesor, acabo de encontrar un resultado diferente:

⟨ V ⟩ = ⟨ ψ ( β ) | − Z r | ψ ( β ) ⟩ = Z β ⟨ ψ ( β ) | − β r | ψ ( β ) ⟩ = − 2 Z β β 2 2 = − β Z

¿Porque eso? ¿Está esto relacionado de alguna manera con el hecho de que voy a usar el método variacional más adelante? Por favor, ayúdame a entender.

Gracias a Kyle Kanos por la edición: ¡Soy nuevo en StackExchange!
Buena pregunta :-) Puede tomar un tiempo para que alguien venga y la responda, especialmente porque está muy cerca la Navidad, así que no se asuste si no obtiene una respuesta de inmediato.

Respuestas (1)

En resumen, puede encontrar un | ψ ⟩ que resuelve la ecuación de Schrödinger ( y por lo tanto el teorema virial ) o no resuelve la ecuación de Schrödinger y luego minimiza mi ( β ) = ⟨ ψ ( β ) | H | ψ ( β ) ⟩ .

Si ha resuelto la ecuación de Schrödinger, entonces no hay nada que minimizar. Si ha adivinado la forma funcional correcta de | ψ ( β ) ⟩ entonces esa función resolverá la ecuación de Schrödinger solo en el valor mínimo mi ( β ) .

Lo que tienes es (ignorando la constante A por ahora) la forma funcional correcta de | ψ ( β ) ⟩ que no satisface las condiciones del teorema del virial para todos los valores de β porque no resuelve la ecuación de Schrödinger para todos los valores de β . Podemos ilustrar este último punto.

Calculador H | ψ ⟩ por arbitrario β (e ignorando el término darwin),

H | ψ ⟩ = ( β r − β 2 2 − Z r ) | ψ ⟩

(hasta una constante multiplicativa). Dado que mi debe ser independiente de r encontramos eso β debe igualar Z . Esto es lo que has encontrado al exigir que se cumpla el teorema del virial. Esto te deja con el resultado familiar de que

mi = − Z 2 2 .

Observe que si intenta aplicar el teorema virial y luego el método variacional, la energía total mi ( β ) ∼ − β 2 , que como puede ver no está acotado desde abajo. ¡No puedes minimizar esto! El enfoque de tu profesor es correcto: muéstrate a ti mismo que puedes minimizar ⟨ T ⟩ + ⟨ V ⟩ para concluir que β = Z .

Teorema virial y método variacional: una pregunta
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v