El teorema virial del oscilador armónico cuántico no se cumple

Me piden que calcule las energías cinética y potencial promedio para un estado dado de un oscilador armónico cuántico. El estado es:

ψ ( X , 0 ) = ( 4 metro ω π ℏ ) 1 4 mi − 2 metro ω ℏ X 2
El caso es que calculando ⟨ T ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ψ ( X ) ( − i ℏ ) 2 d 2 d X ψ d X = ( 4 metro ω π ℏ ) 1 2 ∫ − ∞ ∞ mi − 4 metro ω h X 2 d X − ( 4 metro ω π ℏ ) 1 2 ∫ − ∞ ∞ X 2 mi − 4 metro ω h X 2 d X = ℏ ω

Donde usé que el operador de impulso es pag = − i ℏ d d X

⟨ V ⟩ = metro ω 2 2 ( 4 metro ω π ℏ ) 1 2 ∫ − ∞ ∞ X 2 mi − 4 metro ω h X 2 d X = ℏ ω dieciséis

Pero entonces el Teorema de Virial no se cumple. He leído que el teorema virial se cumple para cualquier estado vinculado y todos los estados en un oscilador armónico cuántico están vinculados. ¿Alguien puede señalar dónde me estoy equivocando? Gracias

Este es el estado fundamental del hamiltoniano. 1 2 metro ∇ 2 + 8 metro ω 2 X 2 - ¿Estás seguro de que ese es el estado al que se referían?
Sí, @ jacob1729, es el estado que me dan. No es un estado fundamental, es más una suma infinita de estados propios de QHO
Tal vez podrías darnos más contexto; ¿Qué describe este estado, etc.?
Es una pregunta de examen anterior, solo dice que un QHO de masa m y frecuencia ω está en dicho estado en t=0 y pide calcular <V> y <T>

Respuestas (2)

El estado fundamental del oscilador armónico es (ver Wikipedia por ejemplo):

ψ 0 ( X ) = ( α π ) 1 / 4 mi − α X 2 / 2 , dónde  α = metro ω ℏ

Su matemática es correcta, es solo que el estado que tiene no es un estado límite del oscilador armónico, los parámetros están ligeramente apagados. Si usa el estado proporcionado anteriormente, puede demostrar que:

⟨ T ⟩ = ℏ ω 4 = ⟨ V ⟩ .

El estado que me dan no es el estado fundamental, necesito calcularlo para el estado dado, con ese factor de 4
Claro, excepto que el teorema de Virial en la Mecánica Cuántica solo es cierto para los estados ligados, y el estado que has proporcionado no es un estado ligado del Oscilador Armónico. Entonces es normal que no satisfaga el teorema. ¿Quizás hay un malentendido en cuanto a lo que es un estado vinculado?
Leí que todos los estados en un oscilador armónico cuántico están vinculados: physics.stackexchange.com/questions/135456/… Pero tal vez me equivoque y para las energías clásicas existan estados no vinculados.
Eso también es correcto. Sin embargo, ¡no todas las funciones son estados ligados! Un estado ligado para un hamiltoniano particular H es un estado que satisface
H ψ = mi ψ ,
dónde mi es un número constante, que entendemos que es la energía. Le insto a que introduzca el estado que tiene en esta ecuación diferencial para ver si la satisface.
Esa relación se satisface mediante funciones propias, ¿verdad? Es por eso que tienen una energía definida E pero mi estado es una suma infinita de las funciones propias de QHO con diferentes coeficientes de peso. Entonces no satisface H ψ = mi ψ . Por lo tanto, no es un estado vinculado, por lo que Virial no se mantiene. Por lo tanto, ¿Virial solo se cumple para estados propios? ¿Y los estados ligados son los de las funciones propias?
Correcto, no estoy seguro de entender la última parte de tu comentario, pero globalmente, sí. "Bound" y "scattering" son adjetivos que se utilizan para describir estados de energía definida (es decir, funciones propias del hamiltoniano). Las funciones propias que tienen un espectro discreto se denominan "ligadas" y las que tienen un espectro continuo se denominan "dispersión". El oscilador armónico solo tiene funciones propias que tienen un espectro de energía discreto y, por lo tanto, todos los estados de energía definida son estados "ligados". El teorema de Virial solo se cumple para tales estados ligados.
¡Muchas gracias! Luego, como resumen, para asegurarme de que he entendido: el Teorema Virial se cumple para los estados ligados, lo que significa funciones propias con energía discreta. Las funciones propias únicas del QHO tienen energía discreta, todos los estados propios están vinculados. Entonces, Virial se mantiene para cualquier estado propio de QHO. Sin embargo, mi estado no tiene una energía definida, ya que no es un estado propio, por lo que no está atado, por lo que no tiene Virial.
¡Eso suena bien, sí!

Puede tener campos gaussianos que no sean estados propios, pero entonces no son independientes del tiempo, y la independencia del tiempo es el elemento esencial del teorema virial. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo del oscilador armónico

i ∂ ψ ∂ t = − 1 2 ∂ 2 ψ ∂ X 2 + 1 2 ω 2 X 2 ψ
tiene una solución dependiente del tiempo
ψ ( X , t ) = ( ω π ) 1 / 4 1 mi i ω t + R mi − i ω t Exp ⁡ { − ω 2 ( 1 − R mi − 2 i ω t 1 + R mi − 2 i ω t ) X 2 } ,
donde el parámetro | R | < 1 . Sólo si R = 0 son sus X y pag distribuciones independientes del tiempo. Si R ≠ 0 el gaussiano "inhala" y exhala. Su función de onda es una instantánea de esta en algún momento en particular.

A continuación se muestra una visualización de | ψ ( X , t ) | 2 (tomando ω = 1 ) para diferentes valores de R , mostrando cómo "respira" el Gaussiano. Como puedes ver, como R → 0 , la distribución de probabilidad tiende a no cambiar tanto.

                          ingrese la descripción de la imagen aquí

El gaussiano "inhala" y exhala . Esa es una gran imagen, voy a usar esa frase de ahora en adelante. :PAG
Creo que no entiendo la metáfora de "inhala y exhala". ¿Se puede ampliar al respecto?
Quiero decir que si tramas | ψ ( X , t ) | 2 para mi solucion en funcion del tiempo veras que la gaussiana se expande y se contrae con frecuencia 2 ω . De este modo < X 2 > . y < pag 2 > encogerse y crecer periódicamente. Por supuesto < pag 2 > crece como < X 2 > se encoge..
Oh, ya veo, gracias
@mikestone Hola! He agregado un pequeño GIF y una pequeña descripción que ilustra lo que creo que quiso decir, siéntase libre de eliminarlo/editarlo/revertir la edición, etc. como mejor le parezca.
@Phillip Eso es genial!
El teorema virial del oscilador armónico cuántico no se cumple
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