¿Es viable esta derivación de la entropía del Agujero Negro?

Question

¿Es viable esta derivación de la entropía del Agujero Negro?

entropía
Física
agujeros negros
Termodinámica-del-agujero-negro

Anixx

Esta pregunta está motivada por ésta .

Suponer $l$ es la unidad mínima medible de longitud. ¿Cuál es la entropía de una partícula sin espín contenida en este intervalo?

Sabemos que la entropía de un sistema de dos niveles depende de las probabilidades de los respectivos niveles, si la probabilidad del estado 0 es $p_0$ , entonces la entropía (en unidades naturales ) es:

S = - \sum_{i = 0}^{1} {pag}_{i} en {pag}_{i} = - {pag}_{0} en {pag}_{0} - (1 - {pag}_{0}) en (1 - {pag}_{0})

$S= -\sum_{i=0}^1 p_i \ln p_i = -p_0 \ln p_0 - (1 - p_0) \ln (1 - p_0)$

Así que si $p_0=1/2$ entonces $S=\ln 2\: \mathrm{nat}$ , igual a $1\: \mathrm{bit}$ . Una partícula que tiene el máximo en el medio tiene una entropía de $1\: \mathrm{bit}$ (Es igualmente probable que se mida a la derecha ya la izquierda del medio).

Como no podemos medir intervalos menores que $l$ , no podemos adivinar dónde se encuentra el máximo de probabilidad para la partícula. Como tal, si asumimos que la partícula tiene la misma probabilidad de tener el máximo de la probabilidad en cualquier punto del intervalo $x\in[0,l]$ , la entropía total se convierte en

S = \int_{0}^{yo} \frac{- (1 - \frac{X}{yo}) en (1 - \frac{X}{yo}) - \frac{X}{yo} en (\frac{X}{yo})}{yo} d X = \int_{0}^{1} - (1 - X) en (1 - X) - X en (X) d X = \frac{1}{2}

$S=\int_0^l \frac{-(1-\frac xl) \ln (1- \frac xl)-\frac xl \ln (\frac xl)}{l} \, dx=\int_0^1 -(1-x) \ln (1-x)-x \ln (x) \, dx=\frac12$

Una entropía de una partícula similar contenida en un área cuadrada de lado $l$ será dos veces más, eso es $1\: \mathrm{nat}$ .

Ahora bien, si suponemos que $l=2l_p$ dónde $l_p$ es la longitud de Planck, llegamos a que tal partícula sin espín tiene una entropía de $1\: \mathrm{nat}$ por 4 cuadrados de longitud de Planck o $1/4\: \mathrm{nat}$ para una longitud de Planck cuadrada.

Por lo tanto, a partir de la única suposición de que el doble de la longitud de Planck es el intervalo mínimo medible, y se espera que el doble de la longitud de Planck al cuadrado contenga 1 partícula en promedio, llegamos al valor estándar de la entropía del agujero negro en nats:

S = \frac{A}{4 {yo}_{pag}^{2}} = \frac{1}{4} A_{pag}

$S=\frac{A}{4l_p^2}=\frac14 A_p$

Dónde $A_p$ es el área en unidades de Planck.

A veces encontré una afirmación de que la unidad fundamental de información es 1 bit. De las consideraciones anteriores se deduce que posiblemente la unidad fundamental sea 1/2 (o 1 o 1/4) nat.

ACTUALIZAR

Tenga en cuenta que la distancia de $2l_p$ entre dos partículas es natural si asumimos que las partículas son planckons , cuyo radio es la longitud de Planck $l_p$ . Como tal, el Agujero Negro puede verse como una capa esférica que consta de una capa de planckons.

N. Virgo

Estoy muy confundido. Si

x

$x$ es una probabilidad y

l

$l$ es una longitud, ¿cómo puede tener sentido decir

x \in [0, l]

$x\in [0,l]$ ?

Anixx

@Nathaniel en el primer ejemplo es probabilidad, en el siguiente ejemplo es la coordenada y la probabilidad de encontrar partículas en l es x/l mientras que para encontrar partículas en 0 es 1-x/l. Si tomamos l=1 entonces x es probabilidad.

N. Virgo

He editado para eliminar la ambigüedad. Retrocede si me equivoqué.

N. Virgo

Pero entonces, si

x

$x$ es una coordenada de posición, ¿qué sentido debo darle al integrando?

- (1 - x) \log (1 - x) - x \log (x)

$-(1-x)\log(1-x) - x\log(x)$ ?

Anixx

@Nathaniel esta expresión es una simplificación de la anterior. Cancelo. Observe el límite de integración diferente.

N. Virgo

Lo sé, pero tampoco le encuentro sentido a la expresión anterior. Puedo ver de dónde viene: estás tomando

x / l

$x/l$ como la probabilidad de algo u otro, calculando su entropía, y luego tomando la expectativa sobre

x

$x$ (así que esto es en realidad la entropía condicional de algo dado

x

$x$ , no la "entropía total", que sigue siendo un bit). Pero ¿por qué interpretas

x / l

$x/l$ como probabilidad? ¿La probabilidad de qué?

Anixx

@Nathaniel si el máximo de la función de onda de la partícula está en x, entonces la probabilidad de que se detecte en l es x/l mientras que la probabilidad de que se detecte en 0 es 1-x/l.

N. Virgo

Bien, ahora lo entiendo. Estás asumiendo que una partícula confinada a tal distancia se convierte en un sistema de dos estados porque no puedes hacer mediciones en la mitad del intervalo, o algo así, ¿verdad?

Anixx

@Nathaniel sí. exactamente.

Respuestas (2)

¿Es viable esta derivación de la entropía del Agujero Negro?

Estoy muy confundido. Si $x$ es una probabilidad y $l$ es una longitud, ¿cómo puede tener sentido decir $x\in [0,l]$ ?
@Nathaniel en el primer ejemplo es probabilidad, en el siguiente ejemplo es la coordenada y la probabilidad de encontrar partículas en l es x/l mientras que para encontrar partículas en 0 es 1-x/l. Si tomamos l=1 entonces x es probabilidad.
He editado para eliminar la ambigüedad. Retrocede si me equivoqué.
Pero entonces, si $x$ es una coordenada de posición, ¿qué sentido debo darle al integrando? $-(1-x)\log(1-x) - x\log(x)$ ?
@Nathaniel esta expresión es una simplificación de la anterior. Cancelo. Observe el límite de integración diferente.
Lo sé, pero tampoco le encuentro sentido a la expresión anterior. Puedo ver de dónde viene: estás tomando $x/l$ como la probabilidad de algo u otro, calculando su entropía, y luego tomando la expectativa sobre $x$ (así que esto es en realidad la entropía condicional de algo dado $x$ , no la "entropía total", que sigue siendo un bit). Pero ¿por qué interpretas $x/l$ como probabilidad? ¿La probabilidad de qué?
@Nathaniel si el máximo de la función de onda de la partícula está en x, entonces la probabilidad de que se detecte en l es x/l mientras que la probabilidad de que se detecte en 0 es 1-x/l.
Bien, ahora lo entiendo. Estás asumiendo que una partícula confinada a tal distancia se convierte en un sistema de dos estados porque no puedes hacer mediciones en la mitad del intervalo, o algo así, ¿verdad?

N. Virgo · Answer 1

El cálculo es interesante (nunca me di cuenta antes de que sale a $1/2\:\mathrm{nat}$ !). Tal vez sí tenga una interpretación en términos de agujeros negros, pero creo que no funciona exactamente de la manera que dices, porque en realidad estás calculando una entropía condicional en lugar de una entropía.

Miremos su cálculo puramente en términos de la teoría de la probabilidad. Dejar $X$ sea una variable aleatoria continua que tome valores en $[0,1]$ (He normalizado por $l$ por simplicidad), y deje $M$ (para "medida") ser una variable aleatoria discreta que toma valores en $\{0,1\}$ .

Aquí, $X$ no representa la posición de la partícula, sino solo el pico de la función de onda. Sus suposiciones corresponden a $(i)$ el marginal para $X$ se distribuye uniformemente sobre $[0,1]$ , y $(ii)$ la probabilidad condicional $p(M=1\mid X=x) = x$ . (Usted establece suposición $(i)$ explícitamente en la pregunta, y usar $(ii)$ implícitamente al escribir la segunda ecuación en su publicación). Por lo tanto, la distribución conjunta está dada por

pag (METRO = i, X = X) = pag (METRO = i ∣ X = X) pag (X = X) = {\begin{cases} X d X & si i = 1 \\ (1 - X) d X & si i = 0, \end{cases}

$p(M=i,X=x) = p(M=i\mid X=x)p(X=x) = \left\{ \begin{array}{ll} xdx &\text{if $i=1$}\\ (1-x)dx & \text{if $i=0$,}\end{array} \right.$

Para un par de variables aleatorias distribuidas conjuntamente $A$ y $B$ , la distribución marginal para $A$ es dado por $p(A=a) = \sum_b p(A=a,B=b)$ . En esto esto se convierte en una integral:

pag (METRO = 1) = \int_{0}^{1} pag (METRO = 1, X = X) = \int_{0}^{1} X d X = 1 / 2.

$p(M=1) = \int_0^1 p(M=1, X=x) = \int_0^1 x dx = 1/2.$

Ahora, la entropía de Shannon de $M$ condicionado a $X$ tener algún valor particular $x$ es dado por $-\sum_{i\in\{0,1\}}p(M=i\mid X=x) = -(1-x)\log (1-x) - x\log x$ . La entropía condicional se define como $H(A|B) = \sum_b p(B=b)H(A\mid B=b)$ , que en este caso se convierte en una integral:

H (METRO | X) = - \int_{0}^{1} d X ((1 - X) registro (1 - X) + X registro X),

$H(M|X) = -\int_0^1 dx((1-x)\log (1-x) + x\log x),$ que evalúa a

1 / 2 n a t

$1/2\:\mathrm{nat}$ como usted dice.

Sin embargo, la entropía que usamos en física es la entropía de von Neumann, que no corresponde a una entropía condicional sino a la entropía marginal de la medida (asumiendo que estamos midiendo en una base propia). En su sistema esto está dado por

H (METRO) = - \sum_{i} pag (METRO = i) registro pag (METRO = i) = - registro (1 / 2) = 1 b i t .

$H(M) = -\sum_i p(M=i)\log p(M=i) = -\log(1/2) = 1\:\mathrm{bit}.$

Entonces (suponiendo nuevamente que esta es una medida en una base propia, que será si se maximiza la entropía, ya que todas las bases son bases propias en ese caso) la entropía de von Neumann según sus suposiciones es $1\:\mathrm{bit}$ , no $1/2\:\mathrm{nat}$ . Una partícula confinada a un cuadrado de longitud $l$ tendrá una entropía de von Neumann de $\log(4) = 2\:\mathrm{bits}$ , ya que se puede medir en cualquiera de las cuatro esquinas.

No. Nunca supuse que la partícula tiene una densidad de probabilidad uniformemente distribuida sobre [0,1]. ¡Esta no es mi suposición! Mi suposición es que la distribución de partículas X tiene el máximo. Si la escala no fuera cercana a la de Plank, podríamos asumir algún punto donde está el máximo y encontrar la entropía de von Neuman de tal distribución. Pero mi punto es que la escala de Planck hace que sea imposible ubicar el máximo de la función de onda, incluso estadísticamente, PERO la función de onda TIENE el máximo (a diferencia de la función de onda plana).
Como puede ver en la pregunta vinculada, esta fórmula surgió de la discusión sobre la incertidumbre de Knightian (incertidumbre sobre la distribución de probabilidad).
A la escala de la mecánica cuántica habitual, podemos suponer que la densidad de probabilidad (función de onda) está exactamente definida. Mi punto es que en la escala de Planck no se puede asumir que la densidad de probabilidad se conozca exactamente.
Lo siento, debería haber usado un símbolo diferente en lugar de $X$ . Sé que no asumiste que la posición de la partícula está uniformemente distribuida. Más bien, estás asumiendo que existe alguna variable aleatoria (la posición del máximo de la función de onda, que tontamente denoté $X$ ) que se correlaciona con $M$ en la forma que dije. El tipo de razonamiento que presento aquí es simplemente la forma bayesiana de lidiar con la incertidumbre de Knight. Si hace las cosas de esta manera, la teoría de Dempster-Shafer se vuelve innecesaria.
Solo para aclarar: en la teoría de la probabilidad bayesiana, una variable aleatoria puede representar una falta de conocimiento, así como un tipo de incertidumbre estocástica. En este caso, la distribución de probabilidad (marginal) sobre $X$ representa su incertidumbre sobre el pico de la función de onda (que tiene un valor real, pero no se puede conocer), mientras que la probabilidad condicional $p(M=i|X=x)$ representa la probabilidad (cuántica) de medir $M=i$ si $X$ eran conocidos de alguna manera. En la teoría bayesiana no hay problema con la combinación de estas dos incertidumbres diferentes en una única distribución conjunta.
Lo siento, fue un error, lo he corregido. ( $S$ es lo mismo que $M$ , Acabo de cambiar su nombre mientras escribía la publicación y olvidé algunas instancias).
Usted dijo "asumiendo que estamos midiendo en una base propia", pero esta suposición NO PUEDE cumplirse en la escala de Planck. Porque la base se define solo hasta la escala de Planck. Esta es la razón por la cual la entropía de von Neuman no es aplicable aquí.
¿Cómo se puede calcular la p(M=i) para la entropía de von Neumann? De donde lo sacaste es 1/2? Esto contradice los datos. en la pregunta $p_0$ se tomó como 1/2 solo como ejemplo de un bit/qubit clásico (no Planck) donde se conoce la posición máxima.
Calcule la entropía de von Neumann con una base que varía uniformemente de -1/2 a +1/2 y obtendrá el mismo resultado que el mío.
He editado para hacer explícita la definición de probabilidad marginal y su cálculo.
Honestamente, no estoy seguro de cómo calcular directamente la entropía de von Neumann para un sistema como este. Solo estoy trabajando a partir de tus suposiciones. $(i)$ y $(ii)$ y mostrando que dadas esas suposiciones, su cálculo representa una entropía condicional, no la marginal. Para calcular correctamente la entropía de von Neumann, supongo que tendría que dar una expresión explícita para la distribución de probabilidad sobre las funciones de onda, en lugar de solo su pico.
Bueno, posiblemente en esa escala de Planck la función de onda solo puede ser plana, porque no se pueden medir unidades de distancia más pequeñas. Supongo. Con la función de onda plana tenemos p~x.
Para un sistema normal de dos estados, el espacio de Hilbert es de dimensión finita, por lo que la función de onda es solo dos números complejos. (O un $2\times 2$ matriz de densidad si se trata de un estado mixto). Si los sistemas en la escala de longitud mínima se convierten en sistemas de dos estados como sugiere, esperaría que se comportaran de manera similar.
mi punto es que uno no puede definir rígidamente la base a esta escala, por lo que no es como un sistema ordinario de dos niveles. Esto hace que la distribución de probabilidad sea fundamentalmente incierta, a diferencia de la QM de escala normal.
Entonces, ¿afirmas que H(x)=H(M)-H(M|X)=log(2)-1/2? No creo que una variable distribuida uniformemente en [0,1] tenga tal entropía.
$H(X)=H(M)-H(M|X)$ no es correcto, deberia serlo $H(X)=H(M,X)-H(M|X)$ . Pero el problema es que la entropía no está bien definida para variables continuas (si comienzas con un sistema discreto y tomas el límite diverge), por lo que no di valores para $H(X)$ o $H(M,X)$ . Puedes usar la entropía diferencial de Shannon para obtener $H(X)=\int_0^1 1\log 1 dx = 0$ , pero la entropía diferencial no es una gran generalización de la entropía discreta. Es mejor pensar en términos de divergencias Kullback-Leibler, pero esa es una historia completamente diferente.
Creo que H(X) es irrelevante porque caracteriza el fondo del vacío (fluctuaciones de la base). Creo que todo lo que está en esa escala debe medirse en el contexto fluctuante.
Entonces H (M | X) es la entropía real de BH (en relación con el vacío).
Continúe cualquier discusión adicional en una nueva sala de chat de física . En general, trate de evitar largas discusiones de comentarios, ya que pueden aclararse más tarde; en su lugar, cree una sala de chat y vincúlela en los comentarios. Gracias :)

Lawrence B Crowell · Answer 2

Está modelando un sistema de dos estados para un agujero negro. El límite de Bekenstein realmente se aplica con grandes $N$ estados Witten descubrió cómo un agujero negro BTZ en 3-dim tendría estados cuánticos que convergen en un resultado de Bekenstein como $N~\rightarrow~\infty$ .

https://arxiv.org/abs/0706.3359

Fuera de tema: ¿Cómo puedes obtener 10.9k reputaciones, teniendo casi las mismas medallas (1 de oro, 10 de plata y 24 de bronce) que yo? ¡Deberías tener muchas más medallas, ya que tienes 8.5 veces mi reputación! Sólo estoy tratando de entender cómo funciona este sistema.

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