Tiempo de página y codificación de información por agujeros negros

El tiempo de la página se produce debido a la naturaleza del enredo. Para un emisor de cavidad de radiación de cuerpo negro, un fotón emitido al principio se entrelaza con estados atómicos en la cavidad. Sin embargo, una vez que se emite la mitad de la energía en la cavidad, la radiación emitida posteriormente se entrelaza con la radiación emitida anteriormente. Como resultado, la entropía de entrelazamiento aumenta hasta cierto punto máximo, aproximadamente a la mitad de la energía emitida, y luego disminuye. Los estados entrelazados están hacia el final en forma de radiación emitida.

Un agujero negro es similar en el sentido de que la radiación de Hawking se emite a partir de un par de fotones entrelazados o pares de electrones y positrones. Uno entra en el agujero negro y el otro escapa al infinito. A mitad de camino, donde el agujero negro ha emitido la mitad de su masa, se hace evidente un enigma. El agujero negro continúa acumulando entropía de entrelazamiento mediante este proceso. Excederá el límite de entropía de Bekenstein. Si esto se evita asumiendo que el entrelazamiento de la radiación de Hawking posterior se entrelaza con la radiación de Hawking temprana, esto obliga a los entrelazamientos bipartitos a evolucionar hacia estados tripartitos, lo que no es posible mediante la evolución unitaria. Se dice que esto viola la regla de la monogamia. Esto generalmente ocurre en el llamado tiempo de página.

La idea entonces es que sucede algo catastrófico donde falla la evolución unitaria o el principio de equivalencia. Se da preferencia a la unitaridad, por lo que se dice que el principio de equivalencia falla en el llamado cortafuegos.

Ahora consideraré esto en el contexto de$AdS_3~\sim~CFT_2$, donde un agujero negro BTZ en 2 espacios más el tiempo corresponde a$AdS_3$. Voy a poner mi cuello un poco en esto. Esto se analiza con respecto al resultado de Ryu-Takayanagi para la entropía de entrelazamiento de$AdS$espaciotiempos y códigos de corrección de errores cuánticos. La entropía de entrelazamiento de$CFT_2$entropía con espaciado de celosía$a$es

$$S~\simeq~\frac{R}{4G}ln(|\gamma|)~=~\frac{R}{4G}ln\left[\frac{a}{L}~+~e^{2\rho_c}sin\left(\frac{\pi \ell}{L}\right)\right].$$ donde la pequeña red recortada evita la condición singular de $\ell~=~0$o $L$. Para la métrica en la forma $ds^2~=~(R/r)^2(-dt^2~+~dr^2 ~+~dz^2)$la línea geodésica determina la entropía como resultado de Ryu-Takayanagi (RT) $$S~=~\frac{R}{2G}\int_{2a/l}^{\pi/2}\frac{ds}{sin~s}~=~-\frac{R}{2G}ln[cot(s)~+~csc(s)]\Large|_{2a/\ell}^{\pi/2}$$ $$\simeq~\frac{R}{2G}ln\left(\frac{l}{a}\right),$$ cual es el pequeño $\ell$límite de la entropía anterior.

El resultado de RT especifica la entropía, que está conectada a la acción.$S_a~\leftrightarrow~S_e$. Complejidad, una forma de entropía de Kolmogoroff es$S_a/\pi\hbar$que también puede asumir la forma de la entropía de un sistema$S~\sim~k~log(dim~\cal H)$para$\cal H$el espacio de Hilbert y la dimensión sobre el número de estados ocupados en el espacio de Hilbert. También podemos ver la complejidad como el volumen del puente Einstein-Rosen$vol/GR_{ads}$o equivalentemente el área RT$\sim~vol/R_{AdS}$. Tenemos una equivalencia de tal entropía o complejidad según los caminos geodésicos en hiperbólicos$\mathbb H^2$por medios geométricos y del formalismo de la mecánica cuántica.

El tiempo de página de un BH es donde ha disminuido a la mitad de su masa original por la radiación de Hawking. Es en este punto que la entropía de entrelazamiento de un BH excede los límites de entropía para los BH. También es un punto en el que un observador que configura un agujero negro con un conjunto de estados conocidos en el horizonte descubre que se han aleatorizado más allá de lo que se puede recuperar. El intercambio de bits cuánticos en el horizonte de sucesos supera la distancia de Hamming. La distancia de Hamming mide el número mínimo de sustituciones de letras requeridas para cambiar una cadena por otra. Esto luego da el número mínimo de errores que transformaron una cadena en la otra. En el momento de la página esto se supera. El cabello cuántico en el horizonte de eventos de un BH define un tipo de métrica de qubit, y la evolución unitaria ocurre cuando la distancia de Hamming entre cadenas de qubit es pequeña. Una vez que se vuelve muy grande con los efectos aleatorios de la radiación de Hawking, la distancia es una enorme cantidad de cálculo y se aproxima a la entropía del propio BH. En este punto la evolución unitaria es imposible.

Dada una cuña causal$W_1$con enredo${\cal E}_{W1}$, existe la región complementaria$\bar W_1$y enredo$\epsilon_{\bar W_1}$. Tenemos con la fórmula RT que para$W_1$delimitado por la curva$\gamma_{W_1}$la función${\cal L}_{W_1}~=$ $area(\gamma_{W_1})/4\ell_p$,$\ell_p$la longitud de Planck que define la entropía lineal en la densidad$\rho$,$Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$. La entropía de la cuña está entonces en Harlow

$$\begin{equation} S(\rho_{W_1})~=~S(\rho_{{\cal E}W_1})~+~Tr(\rho{\cal L}_{W_1}), \end{equation}$$ dónde $S(\rho_{{\cal E}W_1})$es la entropía de entrelazamiento de la cuña. La entropía RT $Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$es lineal en la matriz de densidad mientras que $S(\rho_{{\cal E}W_1})$viene dada por la fórmula de Shannon y no es lineal. Por dualidad tenemos también $S(\rho_{\bar W_1})~=~S(\rho_{{\cal E}\bar W_1})$ $+~Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$. Esta curva define un módulo de curvas donde una forma de la fórmula RT emplea los elementos pseudo-Anosov en los espacios de Teichmuller . El espacio de módulos define el número de estados cuánticos. $N$que ocupan el espacio de Hilbert por lo que la entropía $S(N)~=~log(N)$ $~\sim~Tr(\rho{\cal L}_W)$. Las geodésicas en la superficie hiperbólica definen cuñas causales con la medida de entropía RT. Supongamos que hay dos cuñas causales $W_1$y $W_2$limitada por curvas disjuntas. Además, asignamos la longitud de estas curvas para que sean iguales para que tengan la misma entropía. $S(W_1)~=~S(W_2)$, donde por brevedad descartamos temporalmente la notación de matriz de densidad. un campo en $W_1$y $W_2$está representado por operadores de límite locales en estas cuñas si ese campo está en la región de cuña de enredo caracterizada por $I(\bar W_1,~\bar W_2)$. El enredo neto $S(\bar W_1,~\bar W_2)$define la entropía de las cuñas causales como $$S(W_1)~=~S(\bar W_1,~\bar W_2)~-~S(\bar W_2)$$ $$S(W_2)~=~S(\bar W_1,~\bar W_2)~-~S(\bar W_1),$$ que para enredos iguales define la entropía RT de acuerdo con la entropía conjunta $$\begin{equation} Tr(\rho{\cal L}_{\bar W_1})~=~\frac{1}{2}S(\rho_{\bar W_1},~\rho_{\bar W_2}), \end{equation}$$ con notación de matriz de densidad restaurada. por la igualdad $S(W_1)~=~S(W_2)$la entropía de estas cuñas se define como $Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$que conecta con el de Susskind $ER~=~EPR$porque estas dos cuñas se correlacionan con dos regiones conectadas por un puente ER.

Para cargas en la región causal la curva$\gamma_W$contiene integraciones de contorno alrededor de estas cargas. Estos pueden considerarse como una forma de punción en la variedad, lo que significa que las cuñas causales y$AdS_2$es una variedad Riemanniana de alto género. La evaluación de la entropía RT según las curvas se determina luego por los elementos en los espacios de Teichmüller .

Esto ilustra cómo el tiempo de página para la evaporación de un agujero negro se relaciona con el tiempo para codificar la información en un BH. El resultado de la ecuación$2$para la entropía lineal RT igual a la mitad de la entropía conjunta, indica que un código de corrección de errores cuánticos solo puede procesar alrededor de la mitad de la información cuántica sin errores. Esto significa que la información sobre un agujero negro tiene una descripción dual según el espacio-tiempo o la mecánica cuántica. El$ER~=~EPR$¿Son quizás menos una equivalencia ya que es un principio complementario? La equivalencia de la medida de entropía del cabello cuántico por longitudes de arco de RT y Mirzakhani es dual a la medida por integración de trayectoria cuántica. Con ecuación$2$cualquier observador local solo puede observar la entropía de acuerdo con medios geométricos, gravitacionales o mecánicos cuánticos, pero no ambos con total precisión. Físicamente, esto significa que el cabello cuántico es tal que tiene una descripción dual por geometría o por estados cuánticos. Equivalentemente esto implica una dualidad entre los principios de equivalencia y unitarios.