Teorema de Noether en relatividad general

La formulación del Teorema de Noether en la Relatividad General requiere el uso de algo llamado Campo Vectorial Asesino. Es un tema realmente fascinante, pero comprenderlo requiere tener una comprensión bastante sólida del cálculo tensorial. Explicaré el concepto aquí, y si necesita alguna aclaración sobre las matemáticas, estaré encantado de actualizar mi explicación.

Entonces, como es de esperar que sepa, la relatividad general asume que el espacio-tiempo es un par ordenado$(M, g_{ab})$, dónde$M$es una variedad real, uniforme, de 4 dimensiones, y$g_{ab}$es un rango simétrico, bilineal, no degenerado$(0, 2)$tensor (conocido como la métrica del espacio-tiempo). Definimos la diferenciación de tensores en el espacio-tiempo tal que la derivada de la métrica es cero, es decir,$\nabla_a g_{bc} = 0.$

Necesitamos una definición más. Un grupo de difeomorfismos de un parámetro es una acción de grupo suave del grupo aditivo$\mathbb{R}$en el múltiple$M$-- equivalentemente, es un mapa

$$\phi : \mathbb{R} \times M \rightarrow M$$

tal que para cualquier$p \in M$tenemos$\phi(0, p) = p$y para cualquier$t, s \in \mathbb{R}$tenemos$\phi(t, \phi(s, p)) = \phi(t + s, p).$También requerimos que para cualquier fijo$t$,$\phi_t : M \rightarrow M$es un difeomorfismo.

Hay mucho en lo que pensar allí, pero no es necesario que lo piense demasiado. Lo único importante es pensar en lo que sucede cuando arreglamos un punto$p$en el múltiple. Dejar$\phi_p : \mathbb{R} \rightarrow M$Sea el mapa dado por$\phi_p(t) = \phi(t, p).$Este es un mapa fluido de los reales a$M$, también conocida como una curva en la variedad, que pasa a través de$p$en$t = 0.$

Existe una noción general en el estudio de variedades suaves de poder "empujar hacia adelante" un tensor a lo largo de una curva. Es decir, si tenemos un tensor en el punto$p$y una curva que pasa por$p$, existe una forma natural de empujarlo a lo largo de la curva y obtener un nuevo tensor en un punto diferente de la variedad. Estaremos interesados ​​en hacer esto para$g_{ab}.$Omitiré una discusión más general sobre push-forwards (también conocidos como diferenciales de difeomorfismos), pero si desea una mejor explicación, consulte la Introducción a las variedades suaves de Lee .

Solo hay UNA cosa más en la que debes pensar: si tengo un grupo de difeomorfismos de un parámetro, puedo usarlo para llenar todo el espacio-tiempo$M$con curvas similares. Si tomo los vectores tangentes a estas curvas en todos los puntos, puedo obtener un campo vectorial uniforme en la variedad$M$. Del mismo modo, si me da un campo vectorial suave, puedo encontrarle un grupo correspondiente de difeomorfismos de un parámetro (tomando el conjunto de curvas integrales que tiene ese campo vectorial como su conjunto de vectores tangentes). Así que de ahora en adelante solo hablaré sobre empujar tensores usando campos vectoriales uniformes, no grupos de difeomorfismos de un parámetro.

Bueno, eso fue mucho formalismo. ¿Dónde nos lleva? ¿Por qué te hice perder el tiempo con eso? Bueno, piensa en cómo se expresa el teorema de Noether en la mecánica clásica: "Toda simetría continua da lugar a una cantidad conservada". Si queremos estudiar las cantidades conservadas en la relatividad general, necesitamos interpretar una noción de "simetría continua".

Bueno, creemos que la métrica$g_{ab}$gobierna casi toda la física del espacio-tiempo. Entonces, las únicas simetrías que realmente podemos considerar son las simetrías de la métrica. ¿Qué significa eso? Bueno, sabemos que cada campo vectorial suave nos brinda una forma de tomar la métrica en un punto de la variedad y moverla para obtener un tensor en un punto diferente de la variedad. Entonces, la forma más natural de pensar en las simetrías de la métrica es mirar los campos vectoriales que dejan la métrica sin cambios. Es decir, si tomo la métrica en un punto$p$y empujarlo hasta un punto$q$usando un campo vectorial dado, obtengo precisamente la métrica que esperamos tener en el punto$q$.

Este campo vectorial se llama campo vectorial asesino . Los difeomorfismos asociados se denominan isometrías de la métrica.

Entonces, para completar este formalismo, debe comprender completamente la noción de derivados de Lie. Ya he dedicado mucho tiempo al formalismo, así que pasaré por alto esta parte. Sin embargo, la idea es que si me dan un campo vectorial, puedo definir una derivada con respecto a ese campo vectorial tomando el valor de un campo tensorial a cierta distancia a lo largo de una curva integral, tirando de él hacia atrás a lo largo de la curva en la forma definida empujando hacia adelante, restando cualquier valor que obtenga del valor real del campo tensorial en el punto$p$, dividiendo por la distancia a lo largo de la curva, y tomando el límite.

Lo único que realmente necesita saber de esa discusión es que dado que las simetrías de la métrica dan lugar a curvas que dejan la métrica sin cambios, concluimos que un campo vectorial es una simetría de la métrica si y solo si la derivada de Lie de la métrica con respecto a ese campo vectorial es cero.

Entonces dijimos que un Killing Vector Field es un campo vectorial que corresponde a una simetría de la métrica. Concluimos: un campo vectorial es un Campo Vectorial Asesino si y solo si su derivada de Lie es cero.

Ya casi llegamos, lo prometo. Aquí es donde se pone bueno.

Suponer$v^a$es un Killing Vector Field en un espacio-tiempo$(M, g_{ab})$. Denotamos la derivada de Lie con respecto a$v^a$como$\mathscr{L}_v$. Hay una fórmula para tomar la derivada de Lie de un tensor general, que omitiré. El punto es que sabemos que la derivada de Lie de la métrica es cero. Entonces tenemos

$$0 = \mathscr{L}_v g_{ab} = v^c \nabla_c g_{ab} + g_{cb} \nabla_a v^c + g_{ac} \nabla_b v^c = v^c \nabla_c g_{ab} + \nabla_a v_b + \nabla_b v_a.$$

Ya que dijimos antes que$\nabla_c g_ab = 0$, esto se reduce a

$$\nabla_a v_b + \nabla_b v_a = 0.$$

Entonces, cualquier Killing Vector Field satisface esta propiedad.

Aquí finalmente reclamo la versión final del Teorema de Noether:

Dado cualquier Campo de Vector Asesino$v^a$(es decir, una simetría suave de la métrica), y una geodésica con tangente$u^a$, el producto interior$u^a v_a$se conserva a lo largo del recorrido de la geodésica.

¿Qué significa para una cantidad?$C$ser conservado a lo largo del camino de una geodésica? Esto significa que$u^a \nabla_a C = 0.$Entonces evaluamos:

$$u^a \nabla_a (u^b v_b) = (u^a \nabla_a u^b) v_b + u^b (u^a \nabla_a v_b).$$

Desde$u^a$es el vector tangente a una geodésica,$u^a \nabla_a u^b = 0$por definición de una geodésica afinemente parametrizada. Entonces tenemos

$$u^a \nabla_a (u^b v_b) = u^b (u^a \nabla_a v_b).$$

Desde$a, b$son variables ficticias, podemos intercambiarlas. Pero también tenemos$\nabla_a v_b = - \nabla_b v_a$, que demostramos anteriormente que es una consecuencia del hecho de que$v^a$es un Campo Vectorial Asesino. Entonces, en última instancia, tenemos

$$u^b (u^a \nabla_a v_b) = u^a (u^b \nabla_b v_a) = - u^a (u^b \nabla_a v_b) = - u^b (u^a \nabla_a v_b).$$

Esta cantidad es igual a su propio negativo, por lo que tenemos

$$u^a \nabla_a (u^b v_b) = u^b (u^a \nabla_a v_b) = 0.$$

Eso es un bocado, pero ahí está: el teorema de Noether. Si tenemos un campo vectorial$v^a$tal que empujando la métrica$g_{ab}$a lo largo de$v^a$deja la métrica sin cambios, entonces cualquier observado con un vector tangente$u^a$observará que la cantidad$u^a v_a$permanece invariable a lo largo de su movimiento.

Presumiblemente, está familiarizado con la idea de que "la energía es la cantidad conservada correspondiente a la simetría de traducción del tiempo". Bueno, si la métrica$g_{ab}$no depende explícitamente del tiempo, entonces el vector$\left( \frac{\partial}{\partial t} \right)^a$es un Campo Vectorial Asesino. Definimos la energía de un sistema medida por un observador con vector tangente$u^a$ser

$$E = - u_a \left( \frac{\partial}{\partial t} \right)^a$$ .

Entonces, el hecho de que una métrica sea independiente del tiempo implica que$\left( \frac{\partial}{\partial t} \right)^a$es un Killing Vector Field, que corresponde a la afirmación de que la energía se conserva.

Suponiendo que su pregunta principal es sobre el teorema de Noether cuando$\mathcal{L} \ne T - V$, podemos proceder de la siguiente manera. Denotando las coordenadas generalizadas por$q_i$, consideramos una transformación$q_i \rightarrow q_i + \delta q_i$lo que deja el lagrangiano$\mathcal{L}(q_i, \dot{q}_i)$invariante:

$$\delta \mathcal{L} = 0$$ es decir $$\sum_i \left( \frac {\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\delta q_i + \frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\right) = 0$$ Ahora, las ecuaciones de movimiento son $$\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = \frac{d}{dt}\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}$$ Podemos sustituir esto en la expresión por la variación en $\mathcal{L}$Llegar $$\sum_i \left(\left(\frac{d}{dt}\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta q_i + \frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\left(\frac{d}{dt} \delta q_i\right)\right) = 0$$ Ahora podemos combinar los términos: $$\frac{d}{dt}\left(\sum_i\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\right) = 0$$ Así, la cantidad $Q = \sum_i \frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i$se conserva, hasta un multiplicador constante.

Ahora, considerando la acción:

$$S = m\int ds = m\int \sqrt{g_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b} dt$$ el lagrangiano es $\mathcal{L} = m\sqrt{g_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b}$. Como tal, qué transformación deja este invariante depende de $g_{ab}$. Si, por ejemplo, suponemos que $g_{ab} = \eta_{ab}$, la métrica de Minkowski, entonces el Lagrangiano es invariante bajo desplazamientos $x^a \rightarrow x^a + c^a$y obtenemos la cantidad conservada: $$Q = \eta_{ab}c^a\frac{m\dot{x}^b}{\sqrt{\eta_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b}} = p_a c^a$$ Ahora, esto es válido para todos y cada uno $c^a$, y por lo tanto, el coeficiente de cada componente $c^a$también debe conservarse (como se puede ver poniendo a cero los otros componentes). Por lo tanto, las cantidades conservadas son: $$p_a = \eta_{ab} \frac{m\dot{x}^b}{\sqrt{\eta_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b}}$$ Esto es esencialmente la conservación del 4-momento de una partícula libre en relatividad especial.

Aunque la respuesta de users35736 es ciertamente correcta y la pregunta es antigua, creo que debe tenerse en cuenta que cada vector Killing,$\xi^i$, también da lugar a una corriente de Noether:$J^i = T_j{}^i\xi^j$. Primera nota que

$$J^i{}_{;i} = T^{ji}\xi_{i;j} + \xi_jT^{ji}{}_{;i} = 0,$$ por la ecuación de Killing $\xi_{(i;j)} = 0$, la simetría del tensor tensión-energía $T^{ij} = T^{(ij)}$, y la divergencia que se desvanece del tensor tensión-energía $T^{ji}{}_{;i} = 0$.

Luego considere el operador estrella de Hodge$*: \Omega^k(M) \to \Omega^{n-k}(M)$que podemos considerar definido por

$$*\alpha = \sqrt{|\det[g_{ij}]|}\alpha^{\vec{J}}\epsilon_{\vec{J}\vec{I}}\omega^{\vec{I}},$$ dónde $\omega^i$es el campo de marco local en $T^*M$, $\epsilon_{i_1\ldots i_n}$es el $n$-símbolo de Levi-Civita dimensional, y $\vec{I},\vec{J},\ldots$denotan multiíndices estrictamente crecientes de longitudes apropiadas (por encima de $\vec{J}$es de longitud $k$y $\vec{I}$es de longitud $(n-k)$). Para simplificar la notación tomamos $\varepsilon_{I} := \sqrt{|\det[g_{ij}]|}\epsilon_{I}$ser el tensor de Levi-Civita.

En el caso de una forma 1, el dual de Hodge es esencialmente un$(n-1)$-forma completamente ortogonal a la 1-forma original. para dejar$\alpha_i$sea ​​la forma 1, luego la contracción en algún índice con$*\alpha$rendimientos

$$\alpha^i\alpha^j\varepsilon_{ik_1\ldots k_{r-1} j k_{r+1} \ldots k_n} = 0.$$

Por lo tanto, no debería sorprender que el operador estrella de Hodge pueda usarse cuando se consideran flujos a través de una superficie. Para hacer las cosas más precisas, considere una hipersuperficie,$\Sigma$, definida por la normal$\eta_i$, que tomamos al principio como no nulo y normalizado. Entonces el elemento superficial de$\Sigma$es dado por$*\eta$, y por abuso de notación podemos designar el elemento de superficie dirigido por$d\Sigma_i := \eta_i{*\eta}$. Sin embargo, también podemos escribir

$$d\Sigma_i = \varepsilon_{i\vec{J}}\omega^{\vec{J}}|_\Sigma,$$ dónde $|_\Sigma$denota proyección sobre la superficie $\Sigma$. Para ver esta nota que la contracción con $\eta_i$produce el mismo resultado para ambas expresiones de $d\Sigma_i$, al igual que la contracción con cualquier 1-forma o vector ortogonal a $\eta_i$. Sin embargo, la última expresión también está bien definida para hipersuperficies nulas, y por continuidad también da el elemento de superficie dirigido en estos casos.

Para el flujo descrito por la corriente de Noether$J^i$, es decir, el flujo de la$\xi^i$componente de energía-momento, el flujo total sobre$\Sigma$es dado por$\int_\Sigma J^id\Sigma_i$. Supongamos ahora que$\Sigma$es una hipersuperficie cerrada, que encierra un volumen de 4 volúmenes suficientemente bueno$V$luego por el teorema de Stokes sobre variedades suaves

$$\oint_\Sigma J^id\Sigma_i = \int_V d\left(J^id\Sigma_i\right) = \int_V J^i{}_{;i}dV = 0.$$

Dependiendo de sus preferencias, la expresión final se puede confirmar en un marco de coordenadas de la fórmula

$$X^j{}_{;j} = \frac{1}{\sqrt{|\det g|}}\left(\sqrt{|\det g|}X^j\right)_{,j},$$ que es válido en marcos de coordenadas y se deriva de la fórmula de Jacobi para la derivada de un determinante; en un marco rígido de la primera ecuación de Cartan $$d\omega^i = \omega^j\wedge\gamma^i{}_j,$$ dónde $\gamma^i{}_j$son las formas de conexión; y en un marco mixto de ambos.