¿Cómo se escriben las ecuaciones de campo de Einstein en términos del tensor de Ricci?

Toma la traza de la ecuación contrayéndola con$g^{\mu\nu}$:

$$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R=\dfrac{8\pi G}{c^4}g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$$

Como$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = R$,$g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} \equiv T$y$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = 4$, la ecuación anterior te da$R = -\dfrac{8\pi G}{c^4}T$. Sustituyendo esto en la ecuación de Einstein te dará el resultado.