¿Qué le hace al hamiltoniano HHH una simetría que cambia el lagrangiano por una derivada total?

i) Descargo de responsabilidad. Como purista, desaprobé la praxis común de llamar a la implicación

$$\tag{1} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dQ}{dt}~\approx~0.$$ para una 'versión hamiltoniana del teorema de Noether', cf. mi Phys.SE responde aquí y aquí . Mi razón es que la implicación (1) es simplemente una consecuencia trivial de las ecuaciones de Hamilton, nada más.

II) En cambio, una 'versión hamiltoniana del teorema de Noether' debería referirse a cuasi-simetrías de una acción hamiltoniana

$$S_H[q,p] ~:=~ \int \! dt ~ L_H(q,\dot{q},p,t), \tag{2}$$ y sus correspondientes leyes de conservación. Aquí$L_H$es el llamado hamiltoniano lagrangiano $$L_H(q,\dot{q},p,t) ~:=~\sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - H(q,p,t). \tag{3}$$

III) Es un malentendido que todo ese alboroto sobre las derivadas totales [...] desaparezca en el marco hamiltoniano. La versión hamiltoniana permite que la acción hamiltoniana solo sea invariante hasta los términos de contorno (es decir, la llamada cuasisimetría ) al igual que en la formulación lagrangiana estándar del teorema de Noether . Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Supongo que descubrí la "respuesta" a mi pregunta muy vaga, aunque las otras respuestas aquí también son útiles. El "Hamiltoniano Lagrangiano" es

$$L = p_i \dot q_i - H.$$ Digamos que tenemos una carga conservada$Q$, eso es $$\{Q, H\} = 0.$$ Si hacemos la pequeña variación de simetría $$\delta q_i = \frac{\partial Q}{\partial p_i} \hspace{1cm} \delta p_i = - \frac{\partial Q}{\partial q_i}$$ entonces $$\begin{align*} \delta L &= - \frac{\partial Q}{\partial q_i} \dot q_i - p_i \frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) + \{ H, Q\} \\ &= - \frac{\partial Q}{\partial p_i} \dot q_i - \dot p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} + \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) \\ &= \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q\Big) \end{align*}$$

Entonces podemos ver que$L$cambia necesariamente por una derivada total. cuando la cantidad$p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q = 0$, la derivada total es$0$. Esto sucede cuando la cantidad conservada es de la forma

$$Q = p_i f_i(q).$$ Nótese que en el caso anterior, $$\delta q_i = f_i(q)$$ Es decir, transformaciones de simetría que no "confunden" el$p$está con el$q$'s no tienen ningún término derivado total en$\delta L$.

La razón por la que no hablamos de "cambiar el hamiltoniano por una derivada total" es que las simetrías y las leyes de conservación generalmente se manejan de manera diferente en el cuadro hamiltoniano.

En mecánica hamiltoniana, cualquier función$f$en el espacio de fase genera un flujo en el espacio de fase, es decir, una familia de transformaciones canónicas de un parámetro$(q, p) \to (\tilde{q}(\alpha), \tilde{p}(\alpha))$. La tasa de cambio inducida de cualquier otra función de espacio de fase$g$es

$$\frac{dg}{d\alpha} = \{g, f\}.$$ En particular, el propio hamiltoniano genera la traducción del tiempo, $$\frac{dg}{dt} = \{g, H\}.$$ La declaración de que$Q(q, p)$es una cantidad conservada es simplemente $$\{Q, H\} = 0.$$ Es decir, la evolución temporal generada por$H$no cambia el valor de$Q$. La clave es que esto es equivalente, por la antisimetría del corchete de Poisson, a$\{H, Q\} = 0$, que establece que las transformaciones canónicas generadas por$Q$no cambies los valores de$H$.

Así, dada una transformación canónica infinitesimal que mantiene$H$lo mismo, su generador es una cantidad conservada. Esto es lo más parecido al teorema de Noether que normalmente verás en la mecánica hamiltoniana. ya que se refiere solo$H$, no la integral de$H$, no hay necesidad de hablar de mantener$H$invariante hasta una derivada total, solo tiene que ser invariante, punto. (Pero también vea la respuesta de Qmechanic, sobre una formulación similar a una acción donde sí aparece).