Mismas funciones de partición, diferentes teorías

Las diferencias aparecerán en las funciones de correlación porque las funciones de correlación "saben" sobre el grupo bajo el cual se transforman los estados.

Por ejemplo, el primer nivel excitado de ambos CFT, uno con$E_8\times E_8$(ÉL) y uno con$SO(32)$(HO), contiene$248+248=32\times 31/(2\times 1)=496$estados (y por lo tanto los operadores correspondientes$K_i$,$i=1,2,\dots, 496$, asignado por la correspondencia estado-operador) que se transforman como el adjunto del grupo de calibre.

Estos$K_i(z)$los operadores pueden convertirse en factores en los operadores de vértice en la teoría de cuerdas (los operadores que codifican los bosones de calibre externos y sus supercompañeros). Las amplitudes de dispersión que involucran dos bosones de calibre (y algo más) son integrales de integrandos que son proporcionales a los correladores

$$\langle K_i(z_1) K_j(z_2) \cdot \cdots \rangle$$ quizás con algunos operadores adicionales. Pero estos correladores se pueden calcular si reemplaza el $KK$según las OPEs (operator product expansions). Estos OPE también contendrán términos proporcionales a $K_k$los propios operadores: $$K_i(z_1) K_j(z_2) \sim \frac 1{z_1-z_2} f_{ij}{}^k K_k(z_2)$$ dónde $f_{ij}{}^k$son las constantes de estructura del grupo de Lie. Las constantes de estructura de $E_8\times E_8$y $SO(32)$los grupos son diferentes entre sí, independientemente de la base del álgebra de Lie que elija (por ejemplo, es porque el $E_8\times E_8$el álgebra se divide en dos piezas desacopladas mientras que el $SO(32)$el álgebra no lo hace), así que si estudias los OPE de los 496 operadores $K_i$, podrá extraer las constantes de estructura $f_{ij}{}^k$y, por lo tanto, determinar cuál de los dos grupos de indicadores también está involucrado.

Las constantes de estructura pueden extraerse no solo de los OPE sino también de los correladores de tres operadores de vértice, como

$$\langle K_i(z_1) K_j(z_2)K_k(z_3) \rangle \sim f_{ij}{}^k$$ entonces estos correladores "saben" acerca de las representaciones bajo las cuales los operadores $K_i(z)$transformar. Aunque estos operadores pueden parecer una colección de 496 operadores con la misma dimensión en ambos casos, cuando cambias a la teoría de interacción, la diferencia entre las teorías HE y HO aparece a través de los correladores (y las constantes de estructura en ellos).

Las fórmulas anteriores son solo ejemplos de los operadores básicos en el adjunto. Las fórmulas para correladores más complicados posiblemente involucren más de 3 operadores y quizás algunos operadores que están más excitados (dimensiones más altas) sean más complicados, pero también muestran diferencias entre HE y HO. En cualquier caso, los correladores de los estados más simples anteriores (los bosones de calibre) son suficientes para mostrar que las teorías son diferentes en el nivel perturbativo interactivo.

Se debe enfatizar que después de que una dimensión bosónica de la cuerda heterótica se compacta en un círculo, las teorías en realidad se vuelven equivalentes (T-dual entre sí), pero las líneas de Wilson y otros módulos deben ajustarse cuidadosamente en ambos lados para que las teorías coincidan. . Esto se debe a que los retículos dobles pares de la firma 17+1 son todos isométricos entre sí. En particular

$$\Gamma^{16}_{Spin(32)/Z_2} +\Gamma^{1,1} \equiv \Gamma^8_{E_8} + \Gamma^8_{E_8} + \Gamma^{1,1}$$ después de un apropiado $SO(17,1)$Transformación "Lorentz" de las celosías de ambos lados.