La correspondencia Chern-Simons/WZW

Hay varias relaciones diferentes entre los modelos Chern-Simons/WZW, y hay varias formas de mostrarlas. Un buen artículo que hace esto de manera concreta es Elitzur et al Nucl.Phys. B326 (1989) 108 .

La teoría de Chern-Simons sobre una variedad espacial compacta da lugar a un espacio de Hilbert de dimensión finita (solo grados de libertad globales) que resulta ser isomorfo al espacio de bloques conformes de un modelo WZW (que también es de dimensión finita, ya que no son un número finito de primarias WZW bajo el álgebra de Lie afín asociada).

Sin embargo, si coloca la teoría en una variedad con límite , habrá grados de libertad locales cerca del límite y el espacio de Hilbert de dimensión infinita (la dinámica de los grados de libertad del límite está controlada por un modelo WZW). Permítanme pasar por un ejemplo simple del último tipo, puede completar los cálculos detallados.

La acción está dada por

$$S[a] = \frac k{4\pi}\int_\mathcal M\text{tr}\left(a\wedge\text d a + \frac 23 a\wedge a\wedge a\right).$$ Se puede demostrar que para $k\in\mathbb Z$y la condición de frontera $a_0\big|_{\partial\mathcal M} = 0$, $e^{iS[a]}$es calibre invariante y las ecuaciones para movimientos están bien definidas. A continuación, debemos arreglar el indicador de manera adecuada, ahora supongamos que nuestro múltiple de tres tiene la siguiente forma simple $\mathcal M = \mathbb R\times\Sigma$. Haz una descomposición temporal $\text d = \partial_0\text dx^0 + \tilde{\text d}$, dónde $\tilde{\text d} = \partial_i\text dx^i$, y $a = \tilde a_0 + \tilde a$, dónde $\tilde a_0 = a_0\text dx^0$y $\tilde a = a_i\text dx^i$ $(i=1,2)$. Con esta descomposición obtenemos la siguiente acción

$$S[a] = -\frac k{4\pi}\int_\mathcal M\text{tr}\left(\tilde a\wedge\partial_0\tilde a\right)\wedge\text dx^0 + \frac k{2\pi}\int_\mathcal M\text{tr}\left(\tilde a_0\wedge \tilde f\right),$$ dónde $\tilde f = \tilde{\text d}\tilde a +\tilde a\wedge\tilde a$. Está claro que $\tilde a_0$es solo un multiplicador de Lagrange y fijamos el indicador como $a_0 = 0$(en todas partes, no solo en el límite). Alternativamente, integre $a_0$y obtenemos $\delta(\tilde f)$en la integral de trayectoria. Por lo tanto, tenemos la siguiente acción y restricción

$$S[\tilde a, \tilde a_0=0] = -\frac k{4\pi}\int_\mathcal M\text{tr}\left(\tilde a\wedge\partial_0\tilde a\right)\wedge\text dx^0, \qquad \tilde f = \tilde{\text d}\tilde a +\tilde a\wedge\tilde a=0.$$ Así, el espacio de fase de la teoría es el espacio de módulos de conexiones planas en $\Sigma$. Si el espacio de fase tiene un volumen finito o infinito, depende de si $\Sigma$tiene un límite o no.

Para simplificar, limitémonos a la variedad simple$\mathcal M = \mathbb R\times D^2$, dónde$\Sigma=D^2$es el$2$-desct. Desde$\pi_1(\mathcal M)=0$, no hay bucles/holonomías de Wilson no triviales (ya que el bucle de Wilson solo depende de la clase de homotopía de una curva, para conexiones planas) y, por lo tanto, no hay grados de libertad topológicos. En este caso podemos resolver la restricción de conexión plana$\tilde f = 0$dejando que el campo de calibre sea un campo de calibre puro

$$\tilde a = -\tilde dUU^{-1},$$ dónde $U:\mathcal M\rightarrow G$es una función de valor único y valor de grupo. Aquí, $U$, parametrizar los grados de libertad locales (de la teoría de Chern-Simons) módulo calibre redundancias. La acción que determina la dinámica de $U$se encuentra sustituyendo $\tilde a$en la acción anterior. Usando las coordenadas $(t,r,\theta)$, encontramos

$$\begin{align*} S_{CWZW}&[U] = S\left[\tilde a=-\tilde{\text d} UU^{-1},\tilde a_0=0\right],\\ &= \frac k{4\pi}\int_{\partial\mathcal M}\text{tr}\left(\partial_\theta U^{-1}\partial_tU\right)\text d^2x + \frac k{12\pi}\int_{\mathcal M}\text{tr}\left([\text d UU^{-1}]^3\right),\\ &= \frac k{4\pi}\int_{\partial\mathcal M}\text{tr}\left(\partial_\theta U^{-1}\partial_tU\right)\text d^2x + \frac k{12\pi}\int_{\mathcal M}\text{tr}\left(\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_\mu UU^{-1}\partial_\nu UU^{-1}\partial_\rho UU^{-1}\right)\text d^3 x. \end{align*}$$ Formalmente, también hay que comprobar que la integral de trayectoria no viene con ningún jacobiano.

$$\int\mathcal D\tilde a\delta(\tilde f) = \int\mathcal DU,$$ dónde $\mathcal DU$proviene de la medida de Haar de $G$. Esto muestra lo que estaba buscando, que la función de partición de la teoría de Chern-Simons está determinada por un modelo WZW (quiral) en el límite. para mas generales $\mathcal M$, se puede hacer un cálculo similar con algunos elementos adicionales. Consulte la referencia anterior para obtener más información.

Por supuesto, hay otras formas de mostrar esta relación. Se puede, por ejemplo, mostrar que el corchete de Dirac en el espacio de fase (espacio de módulos de conexiones planas) se reduce al álgebra de Lie afín$\hat{\mathfrak g}_k$(que es el álgebra quiral del modelo WZW). También hay enfoques en los que se derivan ecuaciones funcionales para el funcional de onda. También se puede usar la cuantización canónica como lo hace Witten, explotando el hecho de que el espacio de módulos de conexiones planas (transformación de calibre de módulo) es una variedad de Kähler y la forma simpléctica representa la primera clase de Chern de un paquete de líneas holomorfas. Este último enfoque es más abstracto y menos directo que el anterior.

Una revisión decente es alrededor de la p. 30 de

• Krzysztof Gawędzki, Teoría de campos conformes: un estudio de caso ( arXiv:hep-th/9904145 )

Para obtener más sugerencias, consulte el nLab en la correspondencia AdS3-CFT2 y CS-WZW .

recomiendo

M. Bos y VP Nair. Cuantificación de estado coherente de la teoría de Chern-Simons. Revista Internacional de Física Moderna A, A5:959, 1990.

Además, escribí una breve reseña del mismo: consulta la segunda sección de mi artículo sobre la teoría de Yang-Mills-Chern-Simons ( http://arxiv.org/abs/1311.1853 ).