Tomando el límite continuo de las teorías de calibre U(N)U(N)U(N)

El personaje$\chi_R : G \to \mathbb{C}$de una representación$R$es definido por$\chi_R(U) = Tr_R(U)$, es decir, tomando el rastro de$U$en la representación$R$. Véase, por ejemplo, el Apéndice A de Aharony et al. . Entonces la ecuación que escribe parece razonable: presumiblemente hay$N_f$hipermultipletes, cada uno con campos fundamentales y anti-fundamentales que dan$Tr(U^m)$y$Tr(U^{-m})$respectivamente en la suma de$R$. Se toma la traza de la matriz.$U$porque los campos están en lo fundamental.

El factor de 2 debería provenir de los detalles de qué representaciones exactamente se están sumando, el contenido de campo de los hipermultipletes, etc., que no traté de seguir.

Ahora, con respecto a la distribución de valores propios que aparece en (C.5), déjame darte una explicación física de dónde viene esto. Consideran la termodinámica de una teoría sobre una esfera, por lo que la topología es la de una esfera por$S^1$-- el tiempo compacto euclidiano. En este caso, hay un modo cero del campo del indicador, que proviene del hecho de que puede activar un campo constante en la dirección térmica. Este modo no se puede eliminar mediante una transformación de calibre (en general), por lo que en una integral de ruta debe integrarse sobre ella. Esto se explica, por ejemplo, en la sección 4.1 de Aharony et al . Puede usar una transformación de calibre para diagonalizar esta matriz de modo cero, por lo que le quedan los valores propios discretos de la matriz para integrar. También puede mostrar que estos valores propios viven en un círculo, porque puede cambiarlos por$2\pi$(en alguna normalización) usando una transformación de indicador, por lo que debe integrarlos en un círculo. en el grande$N$límite, tiene un número infinito de tales valores propios, pero aún están restringidos a vivir en un círculo. Entonces necesitas describirlos usando una densidad, y eso es lo que ellos llaman la distribución$\rho$.

Editar: agregar explicación de (C.6)

Para derivar (C.6), considere primero la suma

dónde$\rho(\theta) = \frac{1}{N} \sum_i \delta(\theta - \alpha_i)$. Darse cuenta de$\rho$tiene la normalización correcta.

al tomar$N \to \infty$las funciones delta en$\rho$se volverá muy denso, y podremos aproximarnos$\rho$por una función suave, cuyo valor en$\theta$depende de la densidad de las funciones delta a lo largo del pequeño intervalo$[\theta,\theta+\epsilon]$. Esta será una buena aproximación porque la función$\cos(n\theta)$sobre el que estamos integrando no variará mucho en estos intervalos, por lo que promediarlo en lugar de muestrearlo no cambiará mucho el resultado. Cuando llegamos al límite$N=\infty$esto ya no será una aproximación, porque las funciones delta se volverán continuas.

Así que esto explica la derivación del segundo término en (C.6). En cuanto al primer término, la idea es similar excepto que tienes dos integrales sobre$\theta,\theta'$correspondiente a la$i,j$sumas Las contribuciones de la$i=j$términos ($\theta=\theta'$en la integral) son sublíderes en la gran$N$límite: escalan como$N$mientras que el resto escala como$N^2$, por lo que se descuidan.

Ahora, reemplaza$\cos(n(\theta-\theta')) = \cos(n\theta) \cos(n\theta') + \sin(n\theta) \sin(n \theta')$. Observe que en la integral de trayectoria sobre$\rho$puede considerar solo distribuciones de valores propios que son simétricas bajo$\theta \to -\theta$, porque el integrando original es invariante bajo esto. Esto se menciona explícitamente, por ejemplo, en Schnitzer , quien hace el mismo cálculo. Entonces esto significa que$\int d\theta \rho \sin(n\theta) = 0$. Creo que debe quedar claro a partir de este punto.