¿Por qué la acción de Nambu-Goto y la acción de Polyakov son equivalentes a nivel cuántico?

La integral de trayectoria que involucra la raíz cuadrada de Nambu-Goto en el exponente es un animal muy complejo. Especialmente en la firma de Minkowski, no existe un método totalmente universal para definir o calcular las integrales de trayectoria con tales exponentes generales.

Entonces, si desea dar sentido a tales integrales de ruta, debe manipularlas de manera análoga a la transición de Nambu-Goto a Polyakov. El hecho de que estas transiciones se justifiquen clásica o algebraicamente es una razón para decir que está dando una definición razonable a la integral de trayectoria de Nambu-Goto.

Si hipotéticamente tuviera diferentes valores de las integrales de ruta de Nambu-Goto (y las funciones de Green), aún podría intentar realizar los pasos, la introducción de las funciones adicionales$h_{ab}$métrica auxiliar, y las transformaciones para obtener la forma de Polyakov. Entonces, si hubiera algún otro valor de la integral de ruta Nambu-Goto, también tendría que haber una forma de verlo en las variables de Polyakov.

Pero la integral de trayectoria de Polyakov se comporta mucho mejor (también renormalizable, libre de anomalías en$D=26$etc.), especialmente cuando arreglas la métrica de la hoja mundial$h_{ab}$a un Ansatz plano o similarmente simple. La integral de ruta de Polyakov es prácticamente inequívoca y se comporta bien, por lo que no puede obtener ningún otro resultado razonable y, debido a la relación con la acción Nambu-Goto, no puede haber ningún otro resultado lo suficientemente significativo. significado de la integral de trayectoria Nambu-Goto, tampoco.

Creo que en lugar de preguntar si dos objetos bien definidos son iguales, la actitud correcta ante esta pregunta es admitir que la integral de trayectoria de Nambu-Goto (o la teoría cuántica basada en ella) es a priori mal definida, una inspiración heurística. , y estamos tratando de construir una teoría cuántica significativa y bien definida a partir de esta inspiración heurística. Y la transición al cálculo tipo Polyakov no es solo una opción, es prácticamente un paso inevitable en la construcción de una teoría cuántica basada en la heurística de Nambu-Goto.

I) Recuerde que la formulación de la integral de trayectoria viene en (al menos) dos versiones: lagrangiana y hamiltoniana. A menudo se argumenta que la versión hamiltoniana es más fundamental, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

II) Por un lado, el análisis de Dirac-Bergmann/transformación singular de Legendre arroja que la densidad lagrangiana hamiltoniana de Nambu-Goto (NG) es

$${\cal L}_{NG,H} ~:=~ P\cdot \dot{X}-{\cal H}, \qquad {\cal H}~=~\lambda^{\alpha} \chi_{\alpha}, \qquad \alpha~\in~\{0,1\},\tag{1}$$

con dos restricciones de primera clase

$$\chi_0~:=~P\cdot X^{\prime}~\approx~0, \qquad \chi_1~:=~\frac{P^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~\approx~0,\tag{2}$$

ver, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Aquí$\lambda^0$y$\lambda^1$son multiplicadores de Lagrange para las restricciones de primera clase (2).

III) La densidad lagrangiana original de raíz cuadrada de Nambu-Goto

$$\begin{align} {\cal L}_{NG}~:=~&-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}, \cr {\cal L}_{(1)}~:=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta} ~=~(\dot{X}\cdot X^{\prime})^2-\dot{X}^2(X^{\prime})^2~\geq~ 0, \end{align}\tag{3}$$

se vuelve a obtener integrando las variables$P$,$\lambda^0$y$\lambda^1$en la densidad lagrangiana hamiltoniana de Nambu-Goto (1) si restringimos la variable

$$\lambda^1~>~0 \tag{4}$$

ser positivo. La desigualdad (4) es necesario para excluir una rama de raíz cuadrada negativa no física. Tenga en cuenta que la inecuación. (4) implica que la restricción de primera clase correspondiente$\chi_1$técnicamente hablando, no se aplica con una distribución delta de Dirac en la integral de trayectoria.

IV) Por otro lado, la densidad lagrangiana de Polyakov (P) De Donder-Weyl (DDW) es

$$\begin{align}{\cal L}_{P,DDW}~=~&P^{\alpha} \cdot \partial_{\alpha}X +\frac{\gamma_{\alpha\beta}P^{\alpha}\cdot P^{\beta}}{2T_0\sqrt{-\gamma}} \cr ~=~& P^{\tau}\cdot \dot{X} +P^{\sigma}\cdot X^{\prime}+ \frac{(P^{\sigma} + \lambda^0 P^{\tau})^2}{2T_0 \lambda^1} - \frac{\lambda^1}{2T_0} (P^{\tau})^2, \end{align}\tag{5}$$

donde hemos introducido una métrica de hoja mundial (WS)$\gamma_{\alpha\beta}$y polimomento$P^{\alpha}=(P^{\tau};P^{\sigma})$. Ver también, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

V) En la segunda igualdad de la ec. (5), hemos definido dos variables auxiliares,$\lambda^0$y$\lambda^1$, como sigue:

$$\begin{align} \lambda^0~=~&\frac{\gamma_{\tau\sigma}}{\gamma_{\sigma\sigma}} ~=~-\frac{\gamma^{\tau\sigma}}{\gamma^{\tau\tau}}, \cr \lambda^1~=~&\frac{\sqrt{-\gamma}}{\gamma_{\sigma\sigma}} ~=~ \frac{-1}{\sqrt{-\gamma}\gamma^{\tau\tau}}~\geq~0 \quad\Leftrightarrow\quad\gamma~:=~\det\left(\gamma_{\alpha\beta}\right)_{\alpha\beta}~=~-\left(\lambda^1\gamma_{\sigma\sigma}\right)^2~\leq~0 . \end{align} \tag{6}$$

El signo de la variable$\lambda^1$debe ser positivo para que el término cinético en la densidad de Polyakov Lagrangiana sea definido positivo. Consulte también mi respuesta Phys.SE aquí para obtener más detalles.

Tenga en cuenta los tres componentes métricos de WS$\gamma_{\tau\tau}$,$\gamma_{\tau\sigma}$, y$\gamma_{\sigma\sigma}$solo ingrese la densidad Lagrangiana de Polyakov De Donder-Weyl (5) a través de las dos combinaciones$\lambda^0$y$\lambda^1$! (Este claro hecho está relacionado con la simetría de Weyl ).

VI) Para lograr la densidad lagrangiana hamiltoniana de Polyakov${\cal L}_{P,H}$de la densidad Lagrangiana de Polyakov De Donder-Weyl (5), debemos mantener la variable momento$P^{\tau}\equiv P$, e integre la variable auxiliar$P^{\sigma}$. ¡Resulta que la densidad lagrangiana hamiltoniana de Polyakov se convierte precisamente en la densidad lagrangiana hamiltoniana de Nambu-Goto (1)! Tenga en cuenta que esta conclusión fuera del caparazón es más fuerte que la afirmación habitual de que la cuerda Polyakov y la cuerda Nambu-Goto tienen los mismos EOM clásicos en el caparazón.

En total, la única diferencia restante está en el tercer grado de libertad de la métrica WS, que corresponde a la simetría de Weyl, y cuya contribución integral de trayectoria factoriza ingenuamente y, por lo tanto, desacopla. Un análisis más cuidadoso revela problemas de regularización tanto para la cadena Polyakov como para la cadena Nambu-Goto, lo que potencialmente conduce a una anomalía conforme . En un espacio objetivo plano (TS), la anomalía conforme solo se desvanece en la dimensión crítica.$D=26$.

TL; DR: En conclusión, dado que la densidad lagrangiana hamiltoniana de la cadena Nambu-Goto y la cadena Polyakov son idénticas, entonces cualquier esquema de cuantificación integral de ruta (que sea consistente con la formulación hamiltoniana) también debe ser idéntico.

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