Separación de contribuciones perturbativas y no perturbativas en el cálculo de funciones de partición

Se define lo siguiente, donde ϵ → 0 + es un corte:

F ( Z ) = ∫ ϵ ∞ d s s 1 pecado 2 ⁡ s / 2 mi − s X .

Pregunta: ¿Cómo vemos eso? F tiene una expansión perturbativa + no perturbativa (en X ≫ 0 ) dada por

F ( Z ) = ∑ gramo F gramo X 2 − 2 gramo + O ( mi − X ) ,
para algunos coeficientes F gramo ?

Referencia: el problema se analiza en arXiv:hep-th/9809187 eq. (3.2) y siguientes. El libro Quantum Field Theory de Itzykson y Zuber eq. (4-117) y siguientes deberían ayudar a aclarar.

Debería ser posible ver este tipo de expansión al cambiar la escala de la variable s en la integral y haciendo un desarrollo de Taylor de la pecado 2 en el denominador. Los términos no perturbativos deben surgir de recoger polos en valores imaginarios de s = 2 π i norte .

Tenga en cuenta que el ϵ Se supone que el parámetro asegura la convergencia de la integral.

Creo que encontré una respuesta parcial en el artículo http://arxiv.org/abs/0907.4082 párrafos 2.2 y 2.4, aunque no estoy 100% seguro de cómo se relaciona la fórmula (2.20) aquí con (2.1) en http:/ /arxiv.org/abs/hep-th/9812127

Respuestas (1)

En primer lugar, puedes simplificar esto reescribiéndolo como una integral indefinida de X = Z / F al igual que:

∫ ϵ ∞ d s s 3 ( s / 2 pecado ⁡ s / 2 ) 2 mi − s X = − 1 4 ∫ ϵ ∞ d s ∫ 0 X d X 1 pecado 2 ⁡ s / 2 mi − s X

A partir de aquí, tienes aproximadamente

∫ ϵ ∞ d s ∫ 0 X d X mi − s ( 1 − mi − s ) 2 mi − s X
y la fracción se puede expandir de Taylor y las integrales se pueden evaluar orden por orden. Creo que así es como funcionaría.

Lo siento, ese límite de integración debería ser de X a ∞ .
lo que obtienes es − ∫ ϵ ∞ d s ∫ X ∞ d metro mi − s ( 1 − mi − s ) 2 mi − s metro : ¿está sugiriendo expandirse cerca de s = ∞ la fracción mi − s ( 1 − mi − s ) 2 ?
Porque entonces, no estoy seguro de cómo proceder para obtener las dos contribuciones anteriores.
1 / ( 1 − X ) 2 = d d X ∑ norte X norte que es más o menos la forma que tienes para X = mi − s y desde s > 0 la serie convergerá. Entonces tienes una serie infinita de exponenciales y puedes integrarlas de esa manera.
Bien, pero ¿has podido reproducir el resultado anterior de esta manera?
en particular, ¿de dónde viene la parte no perturbativa?
¿Qué parte no perturbativa? El O ( mi − Z / F ) ?
sí, estaba preguntando de dónde viene esa pieza en tu cálculo
Me sentaré y lo escribiré, y publicaré la nota resultante probablemente este fin de semana. Apoyar.
¿Es posible calcular la integral mirando los polos del denominador y aplicar la teoría de los residuos?
Separación de contribuciones perturbativas y no perturbativas en el cálculo de funciones de partición
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