Integral de trayectoria del bosón libre Z2Z2Z_2-orbifold en el toro

La función de partición de$Z_2$-orbifold bosón libre en 2-torus (parametrizado por$\tau\equiv\omega_2/\omega_1$) se deriva por el formalismo del operador. Quiero considerarlo en el enfoque de ruta integral:

$$\begin{eqnarray} Z=\sum_{\nu,u}\prod_{m,n}\sqrt{\frac{\pi}{-\lambda_{m,n}^{(\nu,u)}}} \end{eqnarray}$$ dónde $\nu$y $u$tomando valores entre $0$y $1/2$definir varias condiciones de contorno $$\begin{eqnarray} \phi(z+\omega_1)=\exp(i2\pi\nu)\phi(z), \\ \phi(z+\omega_2)=\exp(i2\pi u)\phi(z). \end{eqnarray}$$ $\lambda_{m,n}^{(\nu,u)}$'s son los valores propios de Laplaciano $\triangledown_\mu\triangledown^\mu$con $$\begin{eqnarray} \lambda_{m,n}^{(\nu,u)}=-\frac{4\pi^2[(m+\nu)-(n+u)\tau][(m+\nu)-(n+u)\bar\tau]}{L^2(\text{Im}\tau)^2}. \end{eqnarray}$$ Para simplificar, podemos considerar el sector en el que $\nu=0$mientras $u=1/2$ya que en este apartado no hay modos cero de los que preocuparse y $m,n$puede tomar cualquier entero. Entonces $$\begin{eqnarray} Z_{0,1/2}&=&\prod_{m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}}\sqrt{\frac{\pi}{-\lambda_{m,n}^{(0,1/2)}}}\\ &=&\sqrt{\frac{1}{\prod_{m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}}[m-(n+1/2)\tau][m-(n+1/2)\bar\tau]}} \end{eqnarray}$$ dónde $\prod_{n=-\infty}^\infty$Se hace uso de a=1. Para calcular el denominador, se puede definir $q=\exp(i2\pi\tau)$y luego $$\begin{eqnarray} &&\prod_{m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}}[m-(n+1/2)\tau][m-(n+1/2)\bar\tau]\\ &=&\prod_{n}\left\{\left[q^{-(n+1/2)/2}-q^{(n+1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}\\ &=&\prod_{n\geq0}\left\{\left[q^{-(n+1/2)/2}-q^{(n+1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}\prod_{n>0}\left\{\left[q^{-(n-1/2)/2}-q^{(n-1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}\\ &=&\prod_{n>0}\left\{\left[q^{-(n-1/2)/2}-q^{(n-1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}^2\\ &=&(q\bar{q})^{-1/6}\prod_{n=1}^\infty(1-q^{n-1/2})^2(1-\bar{q}^{n-1/2})^2 \end{eqnarray}$$ lo que significa $$\begin{eqnarray} Z_{0,1/2}=\frac{(q\bar{q})^{1/12}}{\prod_{n=1}^\infty(1-q^{n-1/2})(1-\bar{q}^{n-1/2})}. \end{eqnarray}$$ Sin embargo, en la introducción convencional a la teoría de campos conformes, como la Ec.~(8.23) de "Teoría de campos conformes aplicada" de P. Ginsparg, hay una $\tau$-diferencia de fase de dependencia: $$\begin{eqnarray} \tilde{Z}_{0,1/2}=\frac{(q\bar{q})^{1/48}}{\prod_{n=1}^\infty(1-q^{n-1/2})(1-\bar{q}^{n-1/2})}. \end{eqnarray}$$ Realmente no puedo entender la existencia de esta pequeña pero esencial diferencia. Me doy cuenta de que la diferencia de fase es $1/16$que podría tener su origen en el cambio de modo cero del generador Virasoro $L_0$al torcer la condición de contorno, pero no puedo dejar que tenga sentido cuantitativamente.