Invariancia más general del funcional de acción.

Dejar$\phi_s:P\rightarrow P$Sea el difeomorfismo inducido en el espacio de caminos. Usted está asumiendo que el conjunto cero$Zero(dS)$coincide con el cero establecido$Zero(\phi_s^* dS)$. Esto ni siquiera implica que$dS = \phi_s^* dS$, y mucho menos$S = \phi_s^* S$.

Un ejemplo sería una partícula libre en$\mathbf{R}$. Dejar$S=\int \dot{x}(t)^2dt$y considere la transformación de escala$x\rightarrow\exp(s) x$. Entonces los puntos críticos son líneas rectas.$x(t)=x_0+v_0t$y la transformación los conserva claramente. Por otro lado, la acción se multiplica por$\exp(2s)$.

Para entender las diferencias entre$Zero(dS)=Zero(\phi_s^* dS)$y$dS=\phi_s^* dS$, considere la gráfica de$dS$en$T^*P$. La primera condición solo fija los puntos de intersección con la sección cero, mientras que la segunda condición fija el gráfico en sí. Claramente, en el$C^\infty$mundo puedes ajustar el comportamiento de$dS$lejos de los puntos de intersección tanto como desee. En el mundo holomorfo bastaría con recordar las expansiones de Taylor en torno a los puntos críticos.

Finalmente,$dS=\phi_s^*dS$no implica que$S=\phi_s^*S$: solo sabes eso$S=\phi_s^*S + c(s)$, dónde$c$es una función localmente constante en$P$que se desvanece en$s=0$.

En primer lugar, basta con que la variación de la acción sea una divergencia total (en el caso más general de la teoría de campos), es decir, en el caso de la mecánica, una derivada del tiempo. El ejemplo clásico sería impulsar la simetría: transiciones entre marcos de referencia. El único problema es que no se ajusta del todo a su marco, ya que depende explícitamente de la coordenada de tiempo

En segundo lugar, es suficiente que esto se mantenga en el caparazón, es decir, cuando se satisfacen las ecuaciones de movimiento. En el caso de la teoría de campos, el ejemplo clásico de esto es la supersimetría. Probablemente existe un análogo mecánico (unidimensional). Sin embargo, este ejemplo vive en el mundo un poco más general de las supervariedades. Por supuesto, es posible construir ejemplos artificiales de este tipo que se adapten con precisión a su entorno: puede ajustar la función de acción casi de la forma que desee lejos de los puntos críticos (solo tenga cuidado de evitar crear nuevos puntos críticos)

En tercer lugar, como muestran los ejemplos anteriores, la afirmación "por lo general, cuando se habla de una simetría continua de una teoría, uno se refiere a un grupo de difeomorfismos de un parámetro del espacio de configuración..." no es correcta. En su lugar, podemos considerar cualquier transformación temporal-local en el espacio histórico. Por cierto, toda esta discusión es igualmente relevante para las simetrías discretas. Además, a menudo se consideran grupos de parámetros múltiples, pero esto ya es semántica.

No creo que su analogía hamiltoniana sea correcta ya que mis ejemplos anteriores no involucran obstrucciones topológicas. Por cierto, un ejemplo de un flujo que es simpléctico pero no hamiltoniano es la evolución temporal de una partícula en un círculo bajo la influencia de una fuerza constante que la impulsa, por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj en todas partes, que es un sistema sin formulación lagrangiana.