¿Densidad y dimensionalidad de ceros en campos de fuerza del cuadrado inverso de fuentes distribuidas aleatoriamente en (al menos) 1, 2 y 3 dimensiones?

Esta es una respuesta casi completa. Actualmente hay una pequeña brecha con respecto a la no degeneración, pero estoy relativamente seguro de que esto se puede solucionar:

tl;dr Si hay$n$masas, entonces en general habrá al menos$n-1$ceros (en 1d precisamente$n-1$ceros) del campo, todos ellos aislados, dentro del casco convexo de estas masas y ninguno de ellos estable.

Dentro del casco convexo: Este es el fácil de probar independientemente de la dimensión. Suponga que hay un hiperplano con todas las masas de un lado y usted del otro. Luego, la fuerza de cada masa tiene un componente que lo empuja hacia ese plano, por lo que la fuerza total hará lo mismo y no puede ser cero. Tal plano existe precisamente para los puntos que no están en el casco convexo.

Por lo demás, hay que pensar en los ceros como puntos críticos del potencial, que voy a llamar$\Phi$. Luego, suponiendo que no sean degenerados (que generalmente no lo son), la llamada teoría de Morse nos informa sobre su número. También tenga en cuenta que puede convertir todas las masas en mínimos finitos sin crear puntos críticos adicionales, ya que cerca de cualquier masa dada su$1/r$-el potencial domina todas las demás contribuciones, por lo que puede reemplazarlo en ese nivel con un pozo de potencial finito con un mínimo único.

1 dimensión: Ese caso se puede prescindir de herramientas más avanzadas y es algo ilustrativo de la idea: Primero notar que$\frac{d^2}{dx^2}\frac{-1}{|x|} < 0$para$x \neq 0$, entonces$\frac{d^2}{dx^2} \Phi < 0$y así todo punto crítico es un máximo. Ahora es fácil ver que en la línea real los mínimos y los máximos deben alternarse. Así que entre el$n$mínimos resultantes de las masas hay precisamente$n-1$máximos, que son todos los puntos críticos.

2 dimensiones: Supongamos por ahora que todos los puntos críticos son no degenerados, lo que significa que el Hessian$D^2 \Phi$sólo tiene valores propios distintos de cero. De esto se obtiene automáticamente que estos puntos críticos están aislados (aplicar el teorema de la función inversa a$D \Phi$), que por un argumento de compacidad también implica que solo hay un número finito de ellos.

A continuación, finalmente necesitamos un poco de teoría de Morse : el índice de un punto crítico no degenerado se define como el número de valores propios negativos de$D^2\Phi$. En términos generales, este es el número de direcciones independientes en las que$\Phi$es máximo. Así que un mínimo tiene índice$0$, un máximo tiene un índice igual a la dimensión del espacio y todos los puntos de silla tienen un índice en algún punto intermedio. Ahora denote por$C_\gamma$el número de puntos críticos de índice$\gamma$.

Los detalles son un poco complicados, pero el teorema fundamental de la teoría de Morse ahora nos dice que$\sum_{\gamma} (-1)^\gamma C_\gamma = \xi(M)$, dónde$\xi(M)$es la característica de Euler de$M$. En nuestro caso$M= \mathbb{R}^d$que tiene característica$1$. Suponiendo también que los únicos mínimos están en las masas, entonces obtenemos

3 dimensiones: antes de comenzar con la teoría de Morse, hagamos algunas ecuaciones diferenciales parciales. en 3 dimensiones$\frac{1}{|r|}$resuelve la ecuación de Laplace, así que en otras palabras tenemos$\Delta \Phi = 0$lejos de las masas. El principio máximo para la ecuación de Laplace nos dice que$\Phi$es constante (que no lo es) o no tiene máximos ni mínimos locales (las masas no cuentan, ya que la ecuación ya no se mantiene ahí). Entonces, si todos los puntos críticos son no degenerados, obtenemos

Finalmente necesitamos limpiar algunas suposiciones:

Los puntos críticos 3d no son degenerados: estoy razonablemente seguro de que esto se cumple, por algún argumento PDE que me falta, pero técnicamente esto es una brecha.

2d Los puntos críticos no son degenerados: incrustar$\mathbb{R}^2$como un avión en$\mathbb{R}^3$y poner todas las masas en ese plano. Entonces por simetría, la derivada normal a ese plano$\partial_n \Phi$es cero, por lo que los puntos críticos en 2d corresponden a los de 3d y, de manera similar, la dirección normal es un vector propio. Luego, los otros vectores propios están en el plano, por lo que los valores propios de los de 3d corresponden a los valores propios de 2d, por lo que si el punto crítico de 3d no es degenerado, el punto crítico de 2d también lo es.

No hay mínimos 2d adicionales: por el mismo argumento de incrustación y la discusión del casco convexo en la parte superior, los puntos críticos son mínimos en la dirección normal al plano. Entonces, si fueran mínimos en el plano, serían mínimos locales en 3d, lo que contradice el principio del máximo.