Dependencia del tiempo de los operadores de escalera en QFT

Question

Dependencia del tiempo de los operadores de escalera en QFT

Física
hamiltoniano
evolución del tiempo
segunda cuantización
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

Gravedad la cavidad

Actualmente estoy leyendo el libro de Matthew D. Schwartz Teoría de campos cuánticos y el modelo estándar , p. 23. Para las teorías de campos libres (que no interactúan), podemos cuantificar el campo expandiendo nuestro operador de campo como una transformada de Fourier de operadores de escalera para cada modo, es decir

\begin{matrix} (2.78) & ϕ_{0} (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{pag}}} (a_{pag} {mi}^{- i pag . X} + a_{pag}^{†} {mi}^{i pag . X}) . \end{matrix}

$\phi_0(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_pe^{-ip.x} + a_p{^\dagger}e^{ip.x}).\tag{2.78}$

Para nuestras teorías libres esto lleva al hamiltoniano

H_{0} \propto \int d^{3} pag ω_{pag} a_{pag}^{†} a_{pag}

$H_0 \propto \int d^3p \space \omega_p a_p^{\dagger}a_p$ con

\begin{matrix} (2.69) & [a_{k}, a_{pag}^{†}] = (2 π)^{3} d^{3} (\vec{k} - \vec{pag}) . \end{matrix}

$[a_k,a^\dagger_p]=(2\pi)^3\delta^3(\vec{k}-\vec{p}).\tag{2.69}$

Esto nos da una clara interpretación física. Los operadores de escalera, dicen $a^\dagger_p$ , agrega un 'quanta' al modo $\omega_p$ de manera similar al oscilador armónico simple debido a las relaciones de conmutación análogas entre los operadores de escalera y el hamiltoniano. Esto con lo que estoy feliz.

Sin embargo, el problema surge para mí cuando trato de interpretar el operador de campo cuántico bajo una teoría general de interacción. En la imagen de Heisenberg, el operador de campo debe obedecer

\begin{matrix} (2.80) & i \partial_{t} ϕ (X) = [ϕ, H] . \end{matrix}

$i\partial_t\phi(x)=[\phi,H].\tag{2.80}$

Entonces se dice que esto se puede resolver si $a_p \rightarrow a_p(t)$ tal que el operador de campo que interactúa está dado por

\begin{matrix} (2.81) & ϕ (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{pag}}} [a_{pag} (t) {mi}^{- i pag . X} + a_{pag}^{†} (t) {mi}^{i pag . X}] . \end{matrix}

$\phi(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}[a_p(t)e^{-ip.x} + a_p{^\dagger}(t)e^{ip.x}].\tag{2.81}$

Mi problema es la interpretación de $a^\dagger_p(t)$ como un operador que crea partículas en la teoría general de interacción y cómo dice en el libro de Matthew que estos operadores de escalera dependientes del tiempo satisfacen la misma álgebra que los de la teoría libre. En nuestra teoría libre el conmutador $[H_0,a^\dagger_p]=+\omega_pa^\dagger_p$ es lo que lleva a la interpretación de que los operadores de escalera agregan o eliminan partículas al sistema, no me queda claro si esto se mantendría para $[H,a^\dagger_p(t)]=+\omega_p(t)a^\dagger_p(t)$ en la teoría de la interacción.

Gravedad la cavidad

p23 y el libro realmente no especifica qué ecuaciones, pero asumí que significaba todas las mismas ecuaciones que para el oscilador armónico simple, es decir

[H, a^{†}] = ω a^{†}

$[H,a^\dagger]=\omega a^\dagger$ ya que a los operadores de escalera dependientes del tiempo se les da la misma interpretación física

Respuestas (2)

Dependencia del tiempo de los operadores de escalera en QFT

p23 y el libro realmente no especifica qué ecuaciones, pero asumí que significaba todas las mismas ecuaciones que para el oscilador armónico simple, es decir $[H,a^\dagger]=\omega a^\dagger$ ya que a los operadores de escalera dependientes del tiempo se les da la misma interpretación física

mike piedra · Answer 1

"Satisfacer el mismo álgebra" significa que las relaciones de conmutación de tiempo igual

[a_{pag} (t), a_{{pag}^{'}}^{†} (t)] = 2 {mi}_{pag} (2 π)^{3} d^{3} (pag - {pag}^{'})

$[a_p(t), a^\dagger_{p'}(t)]= 2E_p (2\pi)^3 \delta^3(p-p')$ seguir aguantando. El

a_{p} (t)

$a_p(t)$ Sin embargo, ya no son operadores de escalera para el hamiltoniano de la teoría de la interacción. No hay ecuación como

[H, a_{pag}^{†} (t)] = {mi}_{pag} a_{pag}^{†} (t) .

$[H, a^\dagger_p(t)]= E_p a^\dagger_p(t).$

Lo mejor que uno puede esperar es que $\phi$ acopla el vacío a un estado de una sola partícula, de modo que

⟨ pag | ϕ (X) | v a C ⟩ = \sqrt{Z} {mi}^{- i pag \cdot X}

$\langle p |\phi(x)|{\rm vac} \rangle= \sqrt Z e^{-ip\cdot x}$ El

\sqrt{Z}

$\sqrt Z$ está ahí porque

ϕ

$\phi$ también puede conectar el vacío a estados de muchas partículas. Si es así, entonces

Z < 1

$Z<1$ . También es posible que no haya ninguna partícula en el sistema que interactúa que tenga los números cuánticos de

ϕ

$\phi$ . Por ejemplo, no hay partículas de carga +2/3 en el espectro de QCD, por lo que el estado que resulta de actuar sobre el vacío con un operador de campo de quark ascendente no tiene superposición con ningún estado propio de QCD, ya que es el resultado de actuar con uno de sus Constitucion

a^{†}

$a^\dagger$ 's

Michele Grosso · Answer 2

QFT (teoría cuántica de campos) describe la dispersión de los estados entrantes $\vert i \rangle$ a los estados salientes $\vert f \rangle$ en términos de estados de entrada y salida asintóticos.

En el pasado asintótico, $t \to −\infty$ , los estados $\vert i \rangle$ se describen como paquetes de ondas distintos que corresponden a estados de partículas individuales bien separados. Estar lejos por $t \to −\infty$ viajan libremente como estados individuales. Para $t \to +\infty$ los estados fuera $\vert f \rangle$ son nuevamente estados de partículas individuales asintóticamente libres y bien separados.

el estado $\phi_{in}$ tiene $E = \sqrt{\vec p^2 + m^2}$ dónde $m$ es el polo de 1 partícula en el propagador de Feynman de la teoría de interacción completa. Por lo tanto, $\phi_{in}$ es un campo libre que obedece a la ecuación libre de Klein-Gordon, pero con la masa completa $m \ne m_0$ , dónde $m_0$ es el polo de la teoría libre
$(\partial^2 + m^2) \phi_{in} = 0$

Así es posible ampliar $\phi_{in}$ en términos de $a_{in} (\vec p)$ y $a_{in}^\dagger (\vec p)$ , operadores de aniquilación y creación respectivamente.

En el cuadro de Heisenberg
$\phi_{in} (x) = \int \frac{d^3p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} (a_{in} (\vec p) e^{-ipx} + a_{in}^\dagger (\vec p) e^{ipx})$

Una expresión similar vale para $\phi_{out} (x)$ .

Dependencia del tiempo de los operadores de escalera en QFT

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Respuestas (2)

mike piedra

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