Cuantificación de Klein-Gordon y analogía SHO

Question

Cuantificación de Klein-Gordon y analogía SHO

Física
segunda cuantización
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

Pedro

Entiendo que el procedimiento para cuantificar el campo de Klein-Gordon es manipular de tal manera que aparezca el comportamiento del oscilador armónico simple del campo. Esto lo hace Fourier transformando la variable espacial del campo $\phi\left(\vec{x},t\right)$ y conectando de nuevo en la ecuación de KG. El resultado de esto es obtener una ecuación de movimiento SHO para cada modo,

(\frac{d^{2}}{d t^{2}} + ω_{pag}^{2}) ϕ (\vec{pag}, t) = 0.

$\left(\frac{d^2}{dt^2}+\omega_p^2\right)\phi\left(\vec{p},t\right)=0.$ El momento conjugado dado por

π (\vec{p}, t) = \dot{ϕ} (\vec{p}, t)

$\pi\left(\vec{p},t\right)=\dot{\phi}\left(\vec{p},t\right)$ es también la transformada de Fourier de la variable espacial del momento conjugado

π (\vec{x}, t) = \dot{ϕ} (\vec{x}, t)

$\pi\left(\vec{x},t\right)=\dot{\phi}\left(\vec{x},t\right)$ .

Ahora, para cuantificar el SHO en mecánica cuántica no relativista, imponemos relaciones de conmutación. Dado que lo que se comporta como un oscilador son los modos, debemos imponer

[ϕ (\vec{pag}, t), π ({\vec{pag}}^{'}, t)] = i ℏ d (\vec{pag} - {\vec{pag}}^{'}) .

$\left[\phi\left(\vec{p},t\right),\pi\left(\vec{p}',t\right)\right]=i\hbar\delta\left(\vec{p}-\vec{p}'\right).$ Pero esto no es lo que se hace en los libros de texto. En cambio, las relaciones de conmutación se imponen en los campos reales.

[ϕ (\vec{X}, t), π ({\vec{X}}^{'}, t)] = i ℏ d (\vec{X} - {\vec{X}}^{'}),

$\left[\phi\left(\vec{x},t\right),\pi\left(\vec{x}',t\right)\right]=i\hbar\delta\left(\vec{x}-\vec{x}'\right),$ lo que a su vez implica,

[ϕ (\vec{pag}, t), π ({\vec{pag}}^{'}, t)] = i ℏ {(2 π)}^{3} d (\vec{pag} + {\vec{pag}}^{'}) .

$\left[\phi\left(\vec{p},t\right),\pi\left(\vec{p}',t\right)\right]=i\hbar\left(2\pi\right)^3\delta\left(\vec{p}+\vec{p}'\right).$

El factor $\left(2\pi\right)^3$ podría incluirse por convención en la primera relación de conmutación. Sin embargo, el signo más es lo que me está molestando. Esto, por supuesto, también cambia la relación de conmutación entre los operadores de escalera,

[a_{\vec{pag}}, a_{{\vec{pag}}^{'}}^{†}] = {(2 π)}^{3} d (\vec{pag} + {\vec{pag}}^{'})

$\left[a_\vec{p},a^\dagger_{\vec{p}'}\right]=\left(2\pi\right)^3\delta\left(\vec{p}+\vec{p}'\right)$

¿Es solo una convención que no afecta la física o tiene implicaciones más profundas?

Gracias

Respuestas (1)

Cuantificación de Klein-Gordon y analogía SHO

Pedro · Answer 1

Mi confusión entre los HO acoplados y la cuantización de Klein-Gordon se debió a lo siguiente.

En HOs acoplados comenzamos, por ejemplo, con el Lagrangiano

L = \sum_{norte = 0}^{norte + 1} [\frac{1}{2} metro {\dot{q}}_{norte}^{2} - \frac{k}{2} {(q_{norte + 1} - q_{norte})}^{2}]

$L=\sum_{n=0}^{N+1}\left[\frac{1}{2}m\dot{q}_n^2-\frac{k}{2}\left(q_{n+1}-q_{n}\right)^2\right]$ con

q_{0} = q_{N + 1} = 0

$q_0=q_{N+1}=0$ , y luego proceder a desacoplar el EOM con la transformación variable

q_{n} (t) = \sum_{j = 0}^{N + 1} Q_{j} (t) \sin n p_{j}

$q_n\left(t\right)=\sum_{j=0}^{N+1}Q_j\left(t\right)\sin{n p_j}$ para obtener

L = \sum_{norte = 0}^{norte + 1} [\frac{1}{2} metro {\dot{q}}_{norte}^{2} - \frac{1}{2} metro ω_{norte}^{2} q_{norte}^{2}] .

$L=\sum_{n=0}^{N+1}\left[\frac{1}{2}m\dot{Q}_n^2-\frac{1}{2}m \omega_n^2Q^2_n\right].$

En analogía con el SHO, ahora podemos imponer las relaciones de conmutación en las coordenadas del modo :

[q_{metro}, {PAG}_{norte}] = i d_{metro norte},

$\left[Q_m,P_n\right]=i\delta_{mn},$ y

[q_{metro}, q_{norte}] = [{PAG}_{metro}, {PAG}_{norte}] = 0.

$\left[Q_m,Q_n\right]=\left[P_m,P_n\right]=0.$

De la misma forma con KG, haríamos un cambio de variables usando la transformada de Fourier

ϕ (\vec{X}, t) = \int \frac{d^{3} pag}{{(2 π)}^{3}} ϕ (\vec{pag}, t) {mi}^{- i \vec{pag} \cdot \vec{X}},

$\phi\left(\vec{x},t\right)=\int\frac{d^3p}{\left(2\pi\right)^3}\phi\left(\vec{p},t\right)e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}},$ y obtener el lagrangiano desacoplado

L = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{2} - \frac{1}{2} ω_{pag}^{2} ϕ^{2} .

$L=\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}\omega^2_p\phi^2.$ donde ahora

ϕ = ϕ (\vec{p}, t)

$\phi=\phi\left(\vec{p},t\right)$ . La analogía inmediata llevaría a

[ϕ (\vec{pag}, t), π ({\vec{pag}}^{'}, t)] = i {(2 π)}^{3} d (\vec{pag} - {\vec{pag}}^{'}) .

$\left[\phi\left(\vec{p},t\right),\pi\left(\vec{p}',t\right)\right]=i\left(2\pi\right)^3\delta\left(\vec{p}-\vec{p}'\right).$ y esto conduciría a las inconsistencias que mencioné anteriormente.

El problema es que esta relación de conmutación es incorrecta. La razón es que las transformaciones de variables originales de $q\rightarrow Q$ el hecho $Q$ Es real mientras los modos del campo $\phi\left(\vec{p},t\right)$ no son. Por lo tanto, las relaciones de conmutación correctas son

[ϕ (\vec{pag}, t), π^{†} ({\vec{pag}}^{'}, t)] = i {(2 π)}^{3} d (\vec{pag} - {\vec{pag}}^{'}) .

$\left[\phi\left(\vec{p},t\right),\pi^\dagger\left(\vec{p}',t\right)\right]=i\left(2\pi\right)^3\delta\left(\vec{p}-\vec{p}'\right).$

Esto corrige el signo de todas las demás relaciones de conmutación. Por cierto, esto está respaldado por el hecho de que el Lagrangiano debería ser una función real y, por lo tanto, el Lagrangiano desacoplado para el campo en realidad debería leer

L = \frac{1}{2} \dot{ϕ} {\dot{ϕ}}^{†} - \frac{1}{2} ω_{pag}^{2} ϕ ϕ^{†},

$L=\frac{1}{2}\dot{\phi}\dot{\phi}^\dagger-\frac{1}{2}\omega^2_p\phi\phi^\dagger,$ dónde

ϕ = ϕ (\vec{p}, t)

$\phi=\phi\left(\vec{p},t\right)$ .

Cuantificación de Klein-Gordon y analogía SHO

Pedro

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Pedro

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