¿Por qué el hamiltoniano en QFT es el generador de la evolución temporal?

Question

¿Por qué el hamiltoniano en QFT es el generador de la evolución temporal?

Física
hamiltoniano
evolución del tiempo
teoría cuántica de campos

Sjorszini

En Mecánica Cuántica no relativista se puede deducir que el operador de traducción temporal que actúa sobre los estados cuánticos está dado (en unidades naturales) por

{mi}^{- i H t},

$\begin{equation} e^{-iHt}, \end{equation}$ dónde

H

$H$ es el operador hamiltoniano. Esto demuestra que el hamiltoniano es de hecho el generador de las traslaciones de tiempo.

En la Teoría Cuántica de Campos (QFT), el hamiltoniano también parece ser el generador de las traslaciones del tiempo. (Tuve una conferencia al respecto esta semana). La evolución del tiempo en la imagen de Schrödinger ahora está dada por

\begin{matrix} (1) & ψ (\vec{X}, 0) | 0 ⟩ \to {mi}^{- i H t} ψ (\vec{X}, 0) | 0 ⟩ \end{matrix}

$\begin{equation} \psi(\vec{x},0)|0\rangle\to e^{-iHt}\psi(\vec{x},0)|0\rangle \tag{1} \end{equation}$ para un campo escalar libre

ψ

$\psi$ , decir. O, en la imagen de Heisenberg, podemos mostrar la evolución del tiempo por

\begin{matrix} (2) & ψ (\vec{X}, t) = {mi}^{- i H t} ψ (\vec{X}, 0) {mi}^{i H t} \end{matrix}

$\begin{equation} \psi(\vec{x},t) = e^{-iHt}\psi(\vec{x},0)e^{iHt} \tag{2} \end{equation}$ que en realidad es más general que (1). Mi pregunta es la siguiente.

¿Cómo se deriva que la evolución del tiempo en QFT está dada por (1) o (2)? Yo sé eso $H$ es la carga conservada correspondiente a la traslación del tiempo, por lo que una respuesta podría partir de este hecho. Pero si la respuesta establece que la carga conservada de una simetría es siempre la generadora de la simetría, agradecería una prueba/derivación de eso.

knzhou

Estoy confundido con tu pregunta. La teoría cuántica de campos es un tipo especial de teoría mecánica cuántica, por lo que los principios son los mismos.

H

$H$ genera traducciones de tiempo exactamente por la misma razón que antes y, por supuesto, la ecuación de Schrödinger todavía funciona.

knzhou

Además, debe tener cuidado con su notación. Un campo escalar (cuántico) no es una función

ψ (\vec{x})

$\psi(\vec{x})$ , que solo funciona para el caso clásico.

una mente curiosa

Además de lo que dice knzhou (el hamiltoniano es, por definición, el hamiltoniano el generador de la traducción del tiempo), estoy confundido por su eq. (1). Sí,

H

$H$ genera traducciones de tiempo, pero sobre el espacio de estados y el campo

ψ (x)

$\psi(x)$ es un operador en ese espacio, no un estado en sí mismo, por lo que eq. (1) está mal.

Sjorszini

@knzhou Gracias por la llamada, tienes toda la razón. He editado mi pregunta. pero tu dices

H

$H$ genera traducciones de tiempo exactamente por la misma razón que antes. Entonces, ¿cuál fue la razón antes? La única razón por la que sé es que podría derivarse de la ecuación de Schrödinger, que en QFT no podemos hacer.

una mente curiosa

Que cada carga conservada genere su simetría correspondiente es el enunciado hamiltoniano de un teorema de Noether inverso, y no particular de la teoría cuántica de campos. Vea esta excelente respuesta de Qmechanic para una prueba del teorema inverso de Noether.

Sjorszini

@ACuriousMind Eso suena interesante. Le echaré un vistazo.

knzhou

Sin embargo, QFT obedece la ecuación de Schrödinger. ¿Quién te dijo que no?

Sjorszini

@knzhou Entonces, ¿está diciendo que los vectores de estado en QFT realmente todavía obedecen la ecuación de Schrödinger? Entendí que satisfarían la ecuación de Klein-Gordon o algo similar; pero ahora que lo pienso, no estoy tan seguro.

ruta integral

Por ecuación de Schrodinger, @knzhou se refiere a la ecuación para el vector de estado que es un funcional de la configuración de campo en todos los puntos, es decir

Ψ [ϕ (x)]

$\Psi[\phi(x)]$ . Esto debe distinguirse con la función de onda en el lenguaje "primero cuantificado", que ahora se ha convertido en el campo cuántico.

ϕ (x)

$\phi(x)$ y en el límite clásico satisface a Klein-Gordon. La declaración "QFT satisface la ecuación de Schrödinger" es simplemente equivalente a "

H

$H$ es el generador de la traducción del tiempo".

ruta integral

Para resolver su acertijo, creo que la forma más útil es no esperar una gran respuesta aquí. Simplemente tome cualquier libro de QFT, lea la sección sobre el teorema de Noether, tome la expresión para

T_{0 ν}

$T_{0\nu}$ , cuyo

\int d^{3} x T_{00}

$\int d^3x T_{00}$ el componente es

H

$H$ , y probar la ecuación de Heisenberg

i \partial_{t} ϕ (x) = [ϕ (x), H]

$i\partial_t \phi(x)=[\phi(x),H]$ . Vaya a la imagen de Schrodinger, esa es la ecuación de Schrodinger, aunque nadie realmente usa la ecuación de Schrodinger en QFT. También puedes mostrar

\vec{P}

$\vec P$ es el generador de la traducción espacial.

Respuestas (3)

¿Por qué el hamiltoniano en QFT es el generador de la evolución temporal?

Estoy confundido con tu pregunta. La teoría cuántica de campos es un tipo especial de teoría mecánica cuántica, por lo que los principios son los mismos. $H$ genera traducciones de tiempo exactamente por la misma razón que antes y, por supuesto, la ecuación de Schrödinger todavía funciona.
Además, debe tener cuidado con su notación. Un campo escalar (cuántico) no es una función $\psi(\vec{x})$ , que solo funciona para el caso clásico.
Además de lo que dice knzhou (el hamiltoniano es, por definición, el hamiltoniano el generador de la traducción del tiempo), estoy confundido por su eq. (1). Sí, $H$ genera traducciones de tiempo, pero sobre el espacio de estados y el campo $\psi(x)$ es un operador en ese espacio, no un estado en sí mismo, por lo que eq. (1) está mal.
@knzhou Gracias por la llamada, tienes toda la razón. He editado mi pregunta. pero tu dices $H$ genera traducciones de tiempo exactamente por la misma razón que antes. Entonces, ¿cuál fue la razón antes? La única razón por la que sé es que podría derivarse de la ecuación de Schrödinger, que en QFT no podemos hacer.
Que cada carga conservada genere su simetría correspondiente es el enunciado hamiltoniano de un teorema de Noether inverso, y no particular de la teoría cuántica de campos. Vea esta excelente respuesta de Qmechanic para una prueba del teorema inverso de Noether.
Sin embargo, QFT obedece la ecuación de Schrödinger. ¿Quién te dijo que no?
@knzhou Entonces, ¿está diciendo que los vectores de estado en QFT realmente todavía obedecen la ecuación de Schrödinger? Entendí que satisfarían la ecuación de Klein-Gordon o algo similar; pero ahora que lo pienso, no estoy tan seguro.
Por ecuación de Schrodinger, @knzhou se refiere a la ecuación para el vector de estado que es un funcional de la configuración de campo en todos los puntos, es decir $\Psi[\phi(x)]$ . Esto debe distinguirse con la función de onda en el lenguaje "primero cuantificado", que ahora se ha convertido en el campo cuántico. $\phi(x)$ y en el límite clásico satisface a Klein-Gordon. La declaración "QFT satisface la ecuación de Schrödinger" es simplemente equivalente a " $H$ es el generador de la traducción del tiempo".
Para resolver su acertijo, creo que la forma más útil es no esperar una gran respuesta aquí. Simplemente tome cualquier libro de QFT, lea la sección sobre el teorema de Noether, tome la expresión para $T_{0\nu}$ , cuyo $\int d^3x T_{00}$ el componente es $H$ , y probar la ecuación de Heisenberg $i\partial_t \phi(x)=[\phi(x),H]$ . Vaya a la imagen de Schrodinger, esa es la ecuación de Schrodinger, aunque nadie realmente usa la ecuación de Schrodinger en QFT. También puedes mostrar $\vec P$ es el generador de la traducción espacial.

Sean E. Lago · Answer 1

Tu imagen no es del todo correcta. En QFT, lo que era la función de onda se promueve a operador observable, y $\mathbf{x}$ es degradado a parámetro en el mismo nivel que $t$ . La evolución temporal de un operador no está dada por $\operatorname{e}^{-iHt}$ , esa es la evolución de un vector de estado. Los operadores evolucionan, en la imagen de Heisenberg, según:

ψ (t, X) = {mi}^{- i H t} ψ (0, X) {mi}^{i H t} .

$\psi(t,\mathbf{x}) = \operatorname{e}^{-iHt} \psi(0,\mathbf{x}) \operatorname{e}^{iHt}.$ Sin embargo, puede ir más allá y agregar los generadores de traducción espacial para obtener:

ψ (t, X) = {mi}^{- i {PAG}_{m} X^{m}} ψ (0) {mi}^{i {PAG}_{m} X^{m}},

$\psi(t,\mathbf{x}) = \operatorname{e}^{-i P_\mu x^\mu} \psi(0) \operatorname{e}^{i P_\mu x^\mu},$ en el

(+, -, -, -)

$(+,-,-,-)$ métrica de la firma.

Lo que sucede aquí es que la mayoría de los tratamientos de QFT elid sobre el vector de estado necesario para un tratamiento de Schrödinger. Ese vector de estado sigue obedeciendo a una ecuación tipo Schrödinger, solo tiene que expresarse en términos de análisis funcional en lugar de cálculo ordinario.

Como ejemplo, el campo escalar real libre tiene densidad lagrangiana:

L = \frac{1}{2} \partial_{m} ϕ \partial^{m} ϕ - \frac{{metro}^{2}}{2} ϕ^{2} .

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{m^2}{2} \phi^2.$ El impulso canónicamente conjugado a

ϕ

$\phi$ es

π \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} = \dot{ϕ}

$\pi \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} = \dot{\phi}$ . Esto produce un hamiltoniano de la forma habitual:

H = \int d^{3} X [\frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{{metro}^{2}}{2} ϕ^{2}] .

$H = \int \operatorname{d}^3 x \left[\frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{m^2}{2} \phi^2\right].$ Los campos ahora se promocionan a operadores que obedecen las relaciones de conmutación canónicas de tiempo igual,

[ϕ (x), π (y)] = i δ (x - y)

$[\phi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})] = i \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ . El vector de estado ahora tiene que asignar una densidad de probabilidad, por unidad de volumen de espacio funcional (

[D ϕ]

$[\mathcal{D} \phi]$ ), a cada configuración distinta que el campo puede tomar en un momento dado. Esto se conoce como el funcional de onda, denotado

Ψ [ϕ]

$\Psi[\phi]$ . Las relaciones canónicas de conmutación implican que

Ψ

$\Psi$ obedece a una ecuación de tipo Schrödinger:

\int d^{3} X [- \frac{1}{2} \frac{d^{2} Ψ}{d ϕ (X)^{2}} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} Ψ + \frac{{metro}^{2}}{2} ϕ^{2} Ψ] = i \frac{\partial Ψ}{\partial t} .

$\int \operatorname{d}^3 x \left[-\frac{1}{2} \frac{\delta^2 \Psi}{\delta \phi(\mathbf{x})^2} + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 \Psi + \frac{m^2}{2} \phi^2 \Psi \right] = i \frac{\partial \Psi}{\partial t}.$ Esta ecuación es, por supuesto, solo el oscilador armónico simple para el cual podemos construir operadores ascendentes y descendentes de la forma habitual (después de cambiar al espacio de Fourier). El estado fundamental viene dado por el funcional gaussiano:

Ψ_{0} [ϕ] \propto Exp (- \frac{1}{2} \int d^{3} k [[ϕ (k)]^{2} \sqrt{k^{2} + {metro}^{2}}]),

$\Psi_0[\phi] \propto \exp\left(-\frac{1}{2}\int \operatorname{d}^3k \left[[\phi(k)]^2 \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}\right]\right),$ con estados excitados construidos usando operadores de elevación,

a^{†} (k) = \sqrt[4]{\frac{k^{2} + m^{2}}{4}} [ϕ (k) - \frac{i}{\sqrt{k^{2} + m^{2}}} π (k)]

$a^\dagger(\mathbf{k}) = \sqrt[4]{\frac{k^2 + m^2}{4}}\left[\phi(\mathbf{k}) - \frac{i}{\sqrt{k^2 + m^2}} \pi(\mathbf{k})\right]$ , de la forma habitual.

Solo puedo especular que QFT no se enseña de esta manera en la mayoría de los libros de texto por dos razones. Primero, QFT se usa principalmente para calcular amplitudes de dispersión, y es más fácil obtener resultados de otros formalismos. En segundo lugar, los infinitos que afectan a QFT, que requieren una nueva normalización, podrían ser incluso más difíciles de gestionar en este formalismo. Este artículo de 1996 de Long and Shore es un ejemplo de profesionales que utilizan este formalismo.

Gracias por la respuesta elaborada. Sin embargo, lo que realmente estoy tratando de averiguar es de dónde proviene realmente la ecuación de evolución del tiempo en la imagen de Heisenberg que mencionas. O el operador general de traducción de coordenadas, para el caso.
Se requiere que el operador de evolución temporal sea unitario por la definición del vector de estado como una amplitud de probabilidad, $\langle \psi|\psi\rangle = 1$ . Ese requisito, más el requisito de que la evolución temporal sea continua, conduce directamente a la ecuación de Shchrodinger a través de la teoría de los grupos de Lie. Que el hamiltoniano sea el generador de las traslaciones del tiempo proviene, en última instancia, del principio de correspondencia. Si desea un examen muy completo, le recomiendo "The Quantum Theory of Fields Vol I" de Weinberg , especialmente Ch 2

jonathan osborne · Answer 2

La razón fácil es que así es como funciona para las olas. La base de la mecánica cuántica es usar el mismo marco que se usa para las ondas también para la materia. Planck demostró que los cuantos de luz tienen energías dadas por h $\nu$ , por lo que la evolución de las ondas viene dada por $e^{-\it iE/\hbar\space t}$ . Llevamos eso a las partículas de materia y listo.

Esteban Blake · Answer 3

Considere un sistema en estado $|\psi\rangle$ . Alice usa un conjunto de estados base $\langle a|$ . El estado del sistema tiene componentes $\langle a|\psi\rangle$ en el marco de referencia de Alice. Bob usa estados base $\langle a'|$ que están relacionados con la base de Alice por una transformación de coordenadas unitarias $\langle a'|=\langle a|\hat{U}$ . En el marco de referencia de Bob, el sistema $|\psi\rangle$ tiene componentes $\langle a'|\psi\rangle=\langle a|\hat{U}|\psi\rangle$ . Podemos pensar en el sistema como si estuviera en el estado fijo $|\psi\rangle$ y Alice usa "hachas" $\langle a|$ y Bob usa "ejes rotados" $\langle a'|=\langle a|\hat{U}$ . Este es el punto de vista pasivo. Alternativamente, Bob puede pensar en sus componentes $\langle a'|\psi\rangle=\langle a|\hat{U}|\psi\rangle=\langle a|(\hat{U}|\psi\rangle)$ como resultado del cambio de estado de $|\psi\rangle$ a $|\psi'\rangle=\hat{U}|\psi\rangle$ con respecto a la base fija $\langle a|$ . Este es el punto de vista activo. Ambos puntos de vista son equivalentes.

Usemos el punto de vista activo para ver cómo un operador $\hat{O}$ transforma Alice prepara un sistema en un estado $|\psi\rangle$ . Bob ve este sistema en estado $|\psi'\rangle =\hat{U}|\psi\rangle$ . Alice actúa sobre el estado con un operador. $\hat{O}$ para producir $\hat{O}|\psi\rangle$ . Bob ve el nuevo estado como $\hat{U}(\hat{O}|\psi\rangle)=\hat{U}\hat{O}\hat{U}^{-1}\hat{U}|\psi\rangle=(\hat{U}\hat{O}\hat{U}^{-1})\hat{U}|\psi\rangle=(\hat{U}\hat{O}\hat{U}^{-1})|\psi'\rangle$ . En otras palabras, el operador de Alice $\hat{O}$ aparece a Bob como el operador $\hat{O}'=\hat{U}\hat{O}\hat{U}^{-1}$ .

Una transformación de coordenadas unitarias obedece $\hat{U}^{\dagger}=\hat{U}^{-1}$ . Esto implica que se puede escribir una transformación de coordenadas unitarias infinitesimales $\hat{U}=1-i\epsilon \hat{G}$ dónde $\epsilon$ es un número infinitesimal y $\hat{G}$ es hermitiano (prueba: $\hat{U}^{\dagger}=(1-i\epsilon\hat{G})^{\dagger}=1+i\epsilon\hat{G}=\hat(U)^{-1}$ ). el signo de $\epsilon$ es la propia convención de uno. Una transformación unitaria finita se realiza apilando $N$ pequeñas transformaciones. $\hat{U}=(1-i\epsilon\hat{G})^{N}=e^{-iN\epsilon\hat{G}}=e^{-i\tau\hat{G}}$ donde el parámetro finito es $\tau=N\epsilon$ . Un estado ahora se transforma (activamente) como $|\psi'\rangle=e^{-i\tau\hat{G}}|\psi\rangle$ y un operador se transforma (activamente) como $\hat{O}'=e^{-i\tau\hat{G}}\hat{O}e^{i\tau\hat{G}}$ . En mecánica cuántica, los operadores unitarios corresponden a transformaciones canónicas en mecánica clásica. Los operadores hermitianos $\hat{G}$ corresponden a los generadores de transformaciones canónicas en la mecánica clásica. En mecánica clásica, la función hamiltoniana $H$ es el generador de traslaciones de tiempo, por lo que la transformación de coordenadas unitarias correspondiente a la traslación de tiempo es $\hat{U}=e^{-it\hat{H}}$ .

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