Ley de gravitación de Newton en el espacio de De Sitter

Tu fuerza es correcta, esa es también la expresión para$\ddot{r}$en la métrica real de Schwarzschild De Sitter cuando establece las primeras derivadas de tiempo propias de las coordenadas espaciales en cero:

La ecuación geodésica da la componente radial de la 4-aceleración (en unidades naturales):

$$\ddot{r}= \color{gray}{ \frac{\left(\Lambda r^3-3\right) \dot{r}^2}{r \left(\Lambda r^3-3 r+6\right)} } -\frac{\left(\Lambda r^3-3 r+6\right) \left(\color{gray}{ 3 r^3 \left(\dot{\theta}^2 +\sin ^2 \theta \ \dot{\phi}^2\right) }+\left(\Lambda r^3-3\right) \dot{t}^2\right)}{9 r^3}$$

donde te pones$\dot{r}=\dot{\rm \theta}=\dot{\rm \phi}=0$y enchufar

$$\dot{t}=\sqrt{g^{t t}} \ \color{gray}{ \gamma } = \sqrt{\frac{1 \ / \ (1-2/r-\Lambda r^2/3)}{1-\color{gray}{ v^2 }}}$$

con$v=0$, dónde$v$es la velocidad medida por Fido s local y estacionario (en relación con la masa dominante) , entonces se obtiene

$$\ddot{r} = -\frac{1}{r^2}+\frac{\Lambda r}{3}$$

que es, en unidades naturales, la expresión que adivinaste correctamente. El overdot es la diferenciación con respecto al tiempo propio, pero en el límite newtoniano el tiempo propio y el tiempo coordenado son los mismos.

Esta ecuación asume la masa dominante en el centro, para una simulación de n cuerpos la$r$en el$-1/r^2$término es relativo a las masas y la$r$en el$+\Lambda r/3$término relativo al centro de su cuadrícula de coordenadas desde la cual todo lo demás acelera alejándose.