Temperatura del agujero negro en un espacio-tiempo asintóticamente de Sitter

Estoy tratando de calcular la temperatura de Hawking de un agujero negro de Schwarzschild en un espacio-tiempo que es asintóticamente dS. Ignorando las 2 esferas, la métrica viene dada por$ds^2=\left(1-\frac{2M}{r}-\frac{r^2}{L^2}\right)d\tau^2+\left(1-\frac{2M}{r}-\frac{r^2}{L^2}\right)^{-1}dr^2$

dónde$\tau=it$el tiempo euclidiano y$L^2=\frac{3}{\Lambda}$.

En un espacio asintóticamente plano ($\Lambda=0$), hay que exigir que$\tau$ser periódico en la temperatura inversa$\beta$para evitar una singularidad cónica en el horizonte de sucesos, de la que se sigue la temperatura.

Sin embargo, en el espacio-tiempo asintóticamente de De Sitter, hay 2 raíces positivas de$g_{\tau\tau}$: el horizonte de sucesos del agujero negro$r_h$, sino también el horizonte cosmológico$r_c>r_h$. Como en el caso plano, podemos deducir el período de$\tau$que se necesita para evitar una singularidad cónica en$r_h$, pero aún nos queda una singularidad cónica en$r_c$. Del mismo modo podríamos hacer$\tau$periódico de tal manera que la singularidad cónica en$r_c$desaparece

Sin embargo, ¡no podemos hacer desaparecer ambas singularidades cónicas! Entonces, ¿cómo podemos derivar la temperatura de Hawking del agujero negro en este caso? ¿Debería simplemente ignorar la singularidad en el horizonte cosmológico? ¿O debería usar diferentes parches de coordenadas?