¿Métrica para 2D de Sitter?

En el espacio-tiempo bidimensional, el tensor de Einstein $R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R$es idénticamente cero, lo que explica por qué obtienes$\Lambda=0$.

en cualquier número$D$de las dimensiones del espacio-tiempo, incluyendo$D=2$, el espacio-tiempo de De Sitter se puede construir así. Comience con el$D+1$Métrica de Minkowski dimensional

$$-(\mathrm dX^0)^2+\sum_{k=1}^D(\mathrm dX^k)^2. \tag{1}$$ La subvariedad definida por la condición $$\sum_{k=1}^D(X^k)^2=L^2+(X^0)^2 \tag{2}$$ es$D$-dimensional del espacio-tiempo de Sitter. El parámetro de longitud$L$está relacionado con la constante cosmológica$\Lambda$por $$\Lambda = \frac{(D-2)(D-1)}{2L^2}. \tag{3}$$ Esta es la ecuación (4) en "Les Houches Lectures on de Sitter Space" . Configuración$D=2$recupera tu resultado$\Lambda=0$.

Por cierto, las ecuaciones (13)-(14) en el mismo documento muestran cómo derivar la métrica de De Sitter en la forma

$$-\mathrm dt^2+e^{2t}\sum_{k=1}^{D-1}(\mathrm dx^k)^2$$ a partir de las ecuaciones (1)-(2). Para$D=2$, esto se reduce a la forma que se muestra en la pregunta.