¿En qué régimen es válida la aproximación semiclásica de la gravedad?

Edición 1: permítanme distinguir entre dos niveles de aproximaciones para tratar con la teoría cuántica de campos en espaciotiempos curvos y el límite clásico de la gravedad cuántica.

Primero, por supuesto, puede considerar una teoría cuántica de campos en un espacio-tiempo de fondo curvo, donde elige ignorar la reacción inversa (el valor esperado) que el propio tensor de energía-momento podría tener en la dinámica del espacio-tiempo. Esto es tan válido como considerar un electrón mecánico cuántico$\psi$que se acopla a un campo electromagnético clásico$A_\mu$.

En segundo lugar, puede intentar dar el siguiente paso y usar la 'aproximación semiclásica', donde considera una teoría cuántica de campos en un espacio-tiempo de fondo clásico y ahora toma$\langle T^{\mu\nu} \rangle$para el tensor de energía-momento en las ecuaciones de Einstein. Cuando comparamos esto con el electromagnetismo, este enfoque es similar a tener en cuenta que el valor esperado de la corriente de electrones$\langle J_\mu \rangle = \langle \bar{\psi} \gamma_mu \psi \rangle$debería crear un campo electromagnético adicional propio.

Edición 2: diría que ambos son una aproximación válida siempre que$\langle T^{\mu\nu} \rangle$sigue siendo pequeño (lo que efectivamente significa que puede ignorar la reacción inversa de$\langle T^{\mu\nu} \rangle$en su espacio-tiempo y limitarse al primer caso). Tan pronto como$\langle T^{\mu\nu} \rangle$es localmente de orden uno (en unidades de Planck), su teoría cuántica de campos (que está en una superposición de diferentes configuraciones de campo) le daría (en la teoría cuántica de gravedad completa) una superposición de diferentes espacios-tiempos correspondientes. cuando decimos eso$T^{\mu\nu} \approx \langle T^{\mu\nu} \rangle$, queremos que nuestra superposición de diferentes espaciotiempos en los que se mueve nuestro campo escalar se aproxime aproximadamente a su 'promedio'.

Excitaciones de escalas de longitud$\lambda$, llevará una energía$\lambda^{-1}$. Si$\lambda \approx \ell_{\text{Planck}}$su longitud de onda sería más pequeña que su horizonte de Schwarzschild, lo que provocaría que tales excitaciones formaran pequeños agujeros negros de masa$M_{\text{Planck}}$con un horizonte de eventos. Tomar el valor esperado de tal distribución de espaciotiempos donde tenemos horizontes de eventos y singularidades surgiendo, es claramente malo y es donde nuestra aproximación se rompe por completo.

Sin embargo, es posible que aún se pregunte, si tomamos el valor esperado de$T^{\mu\nu}$y consideremos el espacio-tiempo correspondiente, ¿da esto lugar a un espacio-tiempo que consideraríamos como 'físico' en el sentido de que las geodésicas dentro de ese espacio-tiempo parecen comportarse como lo hacen en el mundo al que estamos acostumbrados? Me temo que aún queda pendiente la cuestión de qué espaciotiempos son exactamente los físicos y cuál sería la mejor restricción para imponerles.$T^{\mu\nu}$para asegurar que lo serán.

Hay varias restricciones que las personas imponen en casos como este para obtener, lo que piensan, deben ser espaciotiempos físicamente significativos. Estas restricciones (o condiciones de energía) se basan en gran medida en lo que la gente supone que son suposiciones razonables para el comportamiento de una teoría de campo (por ejemplo, tener una densidad de energía positiva y que su densidad de energía no fluya más rápido que la luz). Tenga en cuenta que muchos modelos de inflación u otros modelos que consideran un campo escalar con un gran potencial violan todas estas condiciones.

condición de energía nula para cada campo vectorial nulo que apunta al futuro$\rho = T_{ab} \, X^a \, X^b \ge 0$

condición de energía débil para cada campo vectorial causal que apunta al futuro$\rho = T_{ab} \, X^a \, X^b \ge 0$

condición de energía dominante para cada campo vectorial causal que apunta al futuro$-{T^{a}}_{b}\,Y^{b}$también debería ser un vector causal que apunta al futuro (por lo que$\rho$nunca se puede observar que fluye más rápido que la luz).

fuerte condición de energía para cada campo vectorial temporal que apunta al futuro$\left(T_{{ab}}-{\frac {1}{2}}\,T\,g_{{ab}}\right)\,X^{a}\,X^{b}\geq 0$

Además de satisfacer localmente las condiciones de energía como estas, es posible que también desee que su espacio-tiempo satisfaga varias condiciones globales, por ejemplo, que no tenga bucles cerrados similares al tiempo. Este todavía puede ser el caso de un espacio-tiempo arbitrario que satisfaga estas condiciones de energía, ya que los bucles temporales son una propiedad global que depende de la topología de su espacio-tiempo.