¿Hay un 'cálculo perdido'?

De hecho, hubo algo que ahora se llama "cálculo perdido" o "cálculo algebraico" en el siglo XVII, que evitaba conceptos como límites o infinitesimales, que eran problemáticos en ese momento. Fue desarrollado por Descartes, Hudde y otros, y se describe en el artículo premiado de Suzuki The Lost Calculus (1637-1670): Tangencia y optimización sin límites . Sin embargo, solo se aplicó a funciones algebraicas y "simplifica" el cálculo solo en el sentido de evitar conceptos más abstractos, en lugar de simplificar necesariamente los cálculos. Entonces se abandonó en favor del cálculo más general de Newton y Leibniz basado en infinitesimales, y luego se formalizó usando límites.

Descartes introdujo la idea por primera vez en La Geometrie en 1637 y luego la simplificó al "método de las tangentes" en 1638. Supongamos que queremos encontrar la pendiente de la tangente a$y=x^2$en$x=1$. La ecuación general de una recta que pasa por$(1,1)$es$y-1=m(x-1)$, y$m$es la pendiente que estamos buscando. Dado que las líneas cercanas intersecan la gráfica en dos puntos y la tangente solo la toca en uno algebraicamente, el sistema

Este enfoque funciona para cualquier polinomio.$y=p(x)$, y más generalmente para funciones racionales e incluso algebraicas dadas implícitamente. Por ejemplo, para encontrar la pendiente de la tangente en$x=a$nosotros escribimos$y-p(a)=m(x-a)$y busca el valor de$m$lo que hace$a$una raíz doble de$p(x)-p(a)=m(x-a)$. Esto sólo requiere una larga división de$p(x)-p(a)$por$x-a$, sin límites ni infinitesimales, y si el cociente es$q(x)$entonces$m=q(a)$. Para que el método sea computacionalmente viable, se necesita un algoritmo más eficiente que la división larga para detectar raíces dobles. Tal método fue proporcionado por Jan Hudde, un talentoso matemático holandés que tuvo que abandonar las matemáticas por la política para salvar a Holanda de la invasión española, en dos cartas incluidas en la edición de 1659 de La Geometrie de Descartes. Se trata de una ingeniosa reducción modular de polinomios que anticipa los métodos de la geometría algebraica moderna.