¿Por qué las funciones de correlación de espín en los modelos de Ising decaen exponencialmente por debajo de la temperatura crítica?

Primero tenga en cuenta que, como dice, la función de 2 puntos$\langle \sigma_i \sigma_j\rangle$no tiende a cero como$\|j-i\|\to\infty$cuando$T<T_{\rm c}$; a saber,

$$\lim_{\|j-i\|\to\infty} \langle \sigma_i \sigma_j\rangle^+ = (m^*(T))^2,$$ dónde $m^*(T)=\langle\sigma_0\rangle^+$es la magnetización espontánea (la $+$superíndice indica que la expectativa se toma en el $+$estado).

Entonces, cuando uno dice que las correlaciones decaen exponencialmente cuando$T<T_{\rm c}$, en realidad se está hablando de las funciones de correlación truncadas . La función truncada de 2 puntos se define como

$$\langle \sigma_i; \sigma_j\rangle^+ = \bigl\langle (\sigma_i - \langle \sigma_i\rangle^+) (\sigma_j - \langle \sigma_j\rangle^+) \bigr\rangle^+ = \langle \sigma_i \sigma_j\rangle^+ - \langle \sigma_i\rangle^+ \langle \sigma_j\rangle^+.$$ Mide la correlación entre las fluctuaciones en $i$y $j$son. (En términos probabilísticos, esto es simplemente la covarianza entre las variables aleatorias $\sigma_i$y $\sigma_j$.) La función truncada de 2 puntos converge a $0$a todas las temperaturas $T$. Este es un hecho general, cierto en las fases puras de cualquier modelo, a cualquier temperatura.

Ahora, volviendo a su pregunta, las correlaciones truncadas decaen exponencialmente rápido en el modelo 2d Ising para todos$T\neq T_{\rm c}$.

Cuando$T<T_{\rm c}$, debe pensar en ello de la siguiente manera: a bajas temperaturas, los giros suelen tomar los mismos valores (digamos$+1$en el$+$fase), con sólo raras fluctuaciones. Una forma útil de ver estas fluctuaciones es adoptar un punto de vista geométrico de las configuraciones: dibujar un segmento de longitud unitaria que separe cada par de vértices vecinos más cercanos en los que los giros toman valores opuestos. La unión de estos segmentos forman los contornos de Peierls de la configuración.

Es fácil comprobar que el gasto energético asociado a cada uno de estos contornos es proporcional a su longitud. Tenga en cuenta también que los contornos proporcionan una descripción completa de la configuración (si sabe que está en el$+$fase).

Ahora bien, ¿qué tiene esto que ver con el decaimiento exponencial de las correlaciones? Como se mencionó anteriormente, la función truncada de 2 puntos$\langle \sigma_i; \sigma_j\rangle^+$mide cómo se correlacionan las fluctuaciones en$i$y$j$son. ¿Cuál es el evento que conducirá a un lanzamiento simultáneo de ambos giros en$i$y$j$? No es difícil convencerse de que esto debe ocurrir cuando un gran contorno rodea simultáneamente los vértices.$i$y$j$. Es decir, usando desigualdades de correlación, se puede verificar que

$$0\leq \langle \sigma_i; \sigma_j\rangle^+ \leq {\rm Prob} (\text{there exists a contour surrounding both $i$ and $j$}),$$ donde el $+$superíndice indica que el cálculo se realiza en el $+$fase. Pero el evento en el lado derecho tiene una probabilidad que es exponencialmente pequeña en la distancia $\|j-i\|$.

Todo esto se puede hacer riguroso. A temperaturas lo suficientemente bajas, puede usar técnicas de expansión de clústeres (esto funciona en cualquier dimensión$d\geq 2$). Puede encontrar un argumento detallado, por ejemplo, en el Teorema 5.27 de este libro . en dimensión$2$, esto también se puede demostrar de forma no perturbativa, ya sea mediante cálculos explícitos o relacionando el costo de un contorno grande con la tensión superficial en el modelo; véase, por ejemplo, este artículo .

Como comentario final: el argumento anterior sugiere, y puede hacerlo riguroso (ver, por ejemplo, la prueba de expansión de clúster a la que me referí anteriormente) que la longitud de correlación tiende a cero cuando$T\downarrow 0$. Esto se debe a que se vuelve extremadamente improbable tener un contorno que rodee dos vértices distantes y las fluctuaciones a temperaturas muy bajas se convierten esencialmente en eventos puramente locales, por lo que ocurren (aproximadamente) de forma independiente en diferentes vértices.