¿Cuál es la definición de longitud de correlación para el modelo de Ising?

Esa no es una definición de longitud de correlación. (Es una definición del exponente crítico.)

La longitud de la correlación se define en términos de la función de correlación de 2 puntos de los observables de espín. Puntos de selección$x$y$y$en la red y considere el valor esperado$\langle s(x) s(y) \rangle$del producto del espín observable en$x$y el espín observable en$y$. Esta cantidad le dice qué tan fuertemente correlacionado el giro en$x$y el giro en$y$son, en función de la temperatura, la constante de acoplamiento y la distancia entre$x$y$y$. Si$T > T_c$, entonces la función de correlación muere exponencialmente rápido en$|x-y|$.

$\langle s(x) s(y) \rangle \sim e^{-\frac{|x-y|}{\xi(T)}}$

La longitud de correlación es, por definición, la constante (en$x$y$y$, pero no en$T$) que le dice qué tan rápido se desvanece la función de correlación.

Solo una pequeña adición a lo que dijo el usuario 1504: la longitud de correlación se puede definir para$T<T_c$también, para que$\big\langle\big(s(x)-\langle s(x) \rangle \big)\big(s(y)-\langle s(y) \rangle \big)\big\rangle=e^{-\frac{|x-y|}{\xi}}$

El modelo de Ising de celosía cuadrada bidimensional, que es un modelo simplificado de la realidad, exhibe una transición de fase. Onsager demostró que existe una temperatura específica, llamada temperatura de Curie o temperatura crítica$T_c$, debajo del cual el sistema muestra un orden ferromagnético de largo alcance. Por encima, es paramagnético y está desordenado.

A temperatura cero, cada giro se alinea en la dirección +1 (o -1). Cuando aumentamos la temperatura, manteniéndola por debajo$T_c$, algún giro de comienza a orientarse en la dirección opuesta. La escala de longitud típica de la formación de grupos se denomina longitud de correlación,$\xi$, y crece a medida que aumentamos la temperatura y diverge en$T_c$. Si vamos más allá$T_c$, la longitud de la correlación comienza a disminuir y, a una temperatura infinita, se vuelve cero.

Simulación del modelo de Ising bidimensional en una red de 100x100. De izquierda a derecha y de arriba abajo, la temperatura aumenta. En el equilibrio, cuando$T<T_c$, las configuraciones típicas en la fase + parecen un "mar" de giros +1 con "islas" de giros -1. Para tamaños de celosía más grandes, las "islas" tienen "lagos" de +1 giros. En esta imagen, los giros +1 están en negro y los giros -1 están en blanco. Cada objeto blanco conectado es un grupo.

Formalmente :

La función de correlación de dos puntos se define como

Dado que la derivación técnica y la explicación de la longitud de la correlación ya se han discutido en detalle, prefiero compartir mi comprensión de este tema.

La noción de longitud de correlación es bastante general en el estudio de la transición de fase térmica o cuántica. Es la única escala de longitud relevante cerca del punto crítico.

Pensemos en un sistema magnético. Por lo general, los giros cercanos tienden a estar correlacionados. Lejos del punto crítico,$T \neq T_c$, su correlación se extiende hasta cierta distancia$\xi$, llamada longitud de correlación. Este es el tamaño típico de las regiones en las que los giros asumen el mismo valor, como se muestra a continuación.

Donde el tamaño del dominio magnético viene dado por la longitud de correlación. Por supuesto, se puede hacer su definición más precisa en términos del comportamiento asintótico de la función de correlación, pero la imagen física sigue siendo la misma que corresponde al diagrama anterior.