Modelo de Ising 1D con diferentes condiciones de contorno

El hamiltoniano para el modelo de Ising unidimensional viene dado por,

H = − j ∑ < i j > S i S j ; i , j = 1 , 2 , . . . , norte + 1
dónde < i j > denota que hay una aproximación del vecino más cercano. La función de partición viene dada por,
Z = ∑ { S i } mi − β H ( S i )
con β = 1 k B T , dónde k B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura Ahora mis preguntas son:

1. Cómo calcular la función de partición cuando S norte + 1 = + 1 mientras otros giran ( S i para i = 1 , 2 , . . . , norte ) puede tomar valor + 1 o − 1 ?

2. Cómo calcular la función de partición cuando S norte + 1 = − 1 mientras otros giran ( S i para i = 1 , 2 , . . . , norte ) puede tomar valor + 1 o − 1 ?

¿Puedes mostrarnos qué trabajo has hecho y qué es exactamente lo que te confunde?
Para (1.) la función de partición será, Z ( norte + 1 ) = ∑ S 1 . . . ∑ S norte mi β ( S 1 S 2 + . . . + S norte − 1 S norte ) mi β S norte . Ahora, ¿cómo tomar las sumas?

Respuestas (2)

1.

Z ( norte + 1 , + ) = ∑ S 1 . . . ∑ S norte mi k ( S 1 S 2 + S 2 S 3 + . . . + S norte − 1 S norte mi k S norte
dónde k = β j . Definimos nuevas variables,
η i = S i S i + 1 ; i = 1 , 2 , . . . , norte − 1
El η i s toma valor:
η i = { + 1 si S i = S i + 1 − 1 si S i ≠ S i + 1
Entonces la función de partición se convierte en,
Z ( norte + 1 , + ) = ∑ S norte ∑ { η i } mi k ∑ i = 1 norte − 1 η i mi k S norte = ∑ S norte { ∏ i = 1 norte − 1 ∑ { η i } mi k η i } mi k S norte = ∑ S norte ( 2 C o s h k ) norte − 1 mi k S norte = ( 2 C o s h k ) norte − 1 ( mi k + mi − k ) = ( 2 C o s h k ) norte
2. De manera similar podemos demostrar que,
Z ( norte + 1 , + ) = Z ( norte + 1 , − ) = ( 2 C o s h k ) norte .

Véase el artículo de Ising de 1925 en Zeit. Físico de pieles. Su ecuación muestra la densidad de estados (DOS) y tiene un parámetro para s(N+1) que se puede establecer en +1 o -1. Cerca del final del artículo, suma este parámetro. En su pregunta, intente multiplicar el DOS por el factor de Boltzmann para obtener el factor de partición.

Gracias. Pero no sé alemán.
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