Atascado con la derivación de la función de correlación de la mecánica estadística de Huang

Question

Atascado con la derivación de la función de correlación de la mecánica estadística de Huang

Física
transición de fase
Transformada de Fourier
fenómenos-críticos
funciones de correlación
mecánica estadística

SRS

Contexto

Sección $16.2$ de la mecánica estadística de Kerson Huang ( $2$ ª edición) trata de una derivación de la función de correlación de dos puntos $\Gamma({\bf r})$ , definida en términos de un parámetro de orden densidad $m({\bf r})$ como

\begin{matrix} (1) & Γ (r) \equiv ⟨ metro (r) metro (0) ⟩ - ⟨ metro (r) ⟩ ⟨ metro (0) ⟩ \end{matrix}

$\Gamma({\bf r})\equiv \big\langle m({\bf r})m(0)\big\rangle-\big\langle m({\bf r})\big\rangle\big\langle m(0)\big\rangle\tag{1}$ dónde

⟨ . . ⟩

$\langle..\rangle$ denota el promedio del conjunto. Para ser explícito, por ejemplo,

⟨ metro (r) ⟩ \equiv \sum_{metro (r)} metro (r) {mi}^{- β H}

$\langle m({\bf r})\rangle\equiv \sum\limits_{m({\bf r})}m({\bf r})e^{-\beta\mathcal{H}}$ dónde

H

$\mathcal{H}$ es el hamiltoniano del sistema. Todo esto está bien, pero estoy atascado con algo que suele ser un paso bastante trivial.

Utiliza la transformada de Fourier y la convención de transformada inversa.

\begin{matrix} (2) & metro (r) = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} {mi}^{+ i k \cdot r} \tilde{metro} (k), \tilde{metro} (k) = \int d^{3} X {mi}^{- i k \cdot r} metro (r) . \end{matrix}

$m({\bf r})=\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} e^{+i{\bf k}\cdot{\bf r}}\tilde{m}({\bf k}),~~ \tilde{m}({\bf k})=\int d^3x e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}m({\bf r}).\tag{2}$ Con esto, hace la afirmación problemática de que (ver justo arriba de la ecuación.

16.11

$16.11$ ),

\begin{matrix} (3) & ⟨ \tilde{metro} (k) \tilde{metro} (pag) ⟩ = (2 π)^{3} d^{(3)} (k + pag) | \tilde{metro} (k) |^{2} . \end{matrix}

$\boxed{\big\langle\tilde{m}({\bf k})\tilde{m}({\bf p})\big\rangle=(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf k}+{\bf p})|\tilde{m}({\bf k})|^2.}\tag{3}$ Para derivar la ecuación (3), normalmente se procedería

\begin{matrix} (4) & ⟨ \tilde{metro} (k) \tilde{metro} (pag) ⟩ = ⟨ \int d^{3} X \int d^{3} X^{'} {mi}^{- i k \cdot r} {mi}^{- i pag \cdot r^{'}} metro (r) metro (r^{'}) ⟩ \end{matrix}

$\big\langle \tilde{m}({\bf k})\tilde{m}({\bf p})\big\rangle=\big\langle\int d^3x \int d^3x^\prime e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}e^{-i{\bf p}\cdot{\bf r}^\prime} m({\bf r})m({\bf r}^\prime)\big\rangle\tag{4}$ si los dos momentos fueran iguales. Pero aquí, no veo ninguna forma estándar de reducirlo a la expresión

(3)

$(3)$ . Entonces la pregunta es, ¿cómo obtiene la Ec.

(3)

$(3)$ ?

Sunyam

Parece que Huang asume que el sistema es homogéneo, es decir,

⟨ m (r) m (r^{'}) ⟩ = ⟨ m (r - r^{'}) m (0) ⟩

$\langle m(r) m(r^\prime) \rangle = \langle m(r-r^\prime) m(0) \rangle$ .

SRS

Eso está bien. Sí, él lo hace. Pero, ¿cómo se obtiene la Ec.

(3)

$(3)$ ? @Sunyam

Sunyam

Si una transformada de Fourier con respecto a

r

$r$ y seguido por el uso del teorema de desplazamiento de Fourier conduce a la ec. (3).

SRS

no pude seguir ¿Puede proporcionar algunos pasos?

Sunyam

\int d t_{1} \int d t_{2} e_{}^{- i (ω_{1}^{} t_{1}^{} + ω_{2}^{} t_{2}^{})} G (t_{1}, t_{2}) = \int d T \int d τ e_{}^{- i ((ω_{1}^{} + ω_{2}^{}) T + (ω_{1}^{} - ω_{2}^{}) \frac{τ}{2})} G (T + \frac{τ}{2}, T - \frac{τ}{2}) = \int d T \int d τ e_{}^{- i (ω_{1}^{} + ω_{2}^{}) T} e_{}^{- i (\frac{ω_{1}^{} - ω_{2}^{}}{2}) τ} G (\frac{τ}{2}, - \frac{τ}{2})

$\int d t_{1} \int d t_{2} e_{}^{-i (\omega_{1}^{}t_{1}^{} + \omega_{2}^{} t_{2}^{})} G(t_1,t_2) = \int dT \int d\tau e_{}^{-i\left((\omega_{1}^{}+\omega_{2}^{})T + (\omega_{1}^{}-\omega_{2}^{})\frac{\tau}{2}\right)} G(T+\frac{\tau}{2},T-\frac{\tau}{2})=\int dT \int d\tau e_{}^{-i(\omega_{1}^{}+\omega_{2}^{})T}e_{}^{-i (\frac{\omega_{1}^{}-\omega_{2}^{}}{2})\tau} G(\frac{\tau}{2},-\frac{\tau}{2})$ .

Respuestas (1)

Atascado con la derivación de la función de correlación de la mecánica estadística de Huang

Parece que Huang asume que el sistema es homogéneo, es decir, $\langle m(r) m(r^\prime) \rangle = \langle m(r-r^\prime) m(0) \rangle$ .
Eso está bien. Sí, él lo hace. Pero, ¿cómo se obtiene la Ec. $(3)$ ? @Sunyam
Si una transformada de Fourier con respecto a $r$ y seguido por el uso del teorema de desplazamiento de Fourier conduce a la ec. (3).
$\int d t_{1} \int d t_{2} e_{}^{-i (\omega_{1}^{}t_{1}^{} + \omega_{2}^{} t_{2}^{})} G(t_1,t_2) = \int dT \int d\tau e_{}^{-i\left((\omega_{1}^{}+\omega_{2}^{})T + (\omega_{1}^{}-\omega_{2}^{})\frac{\tau}{2}\right)} G(T+\frac{\tau}{2},T-\frac{\tau}{2})=\int dT \int d\tau e_{}^{-i(\omega_{1}^{}+\omega_{2}^{})T}e_{}^{-i (\frac{\omega_{1}^{}-\omega_{2}^{}}{2})\tau} G(\frac{\tau}{2},-\frac{\tau}{2})$ .

knzhou · Answer 1

Tenemos

\begin{aligned} ⟨ \tilde{metro} (k) \tilde{metro} (pag) ⟩ & = ⟨ \int d r \int d r^{'} {mi}^{- i k \cdot r} {mi}^{- i pag \cdot r^{'}} metro (r) metro (r^{'}) ⟩ \\ = \int d r \int d r^{″} {mi}^{- i k \cdot r} {mi}^{- i pag \cdot (r + r^{″})} ⟨ metro (r) metro (r + r^{″}) ⟩ \\ = \int d r \int d r^{″} {mi}^{- i (k + pag) \cdot r} {mi}^{- i pag \cdot r^{″}} ⟨ metro (0) metro (r^{″}) ⟩ \\ = (2 π)^{3} d (k + pag) \int d r^{″} {mi}^{- i pag \cdot r^{″}} ⟨ metro (0) metro (r^{″}) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle \tilde{m}({\bf k})\tilde{m}({\bf p})\rangle &= \bigg\langle\int d\mathbf{r} \int d\mathbf{r}' e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}e^{-i{\bf p}\cdot{\bf r}^\prime} m({\bf r})m(\mathbf{r}')\bigg\rangle \\ &= \int d\mathbf{r} \int d\mathbf{r}'' e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}e^{-i{\bf p}\cdot (\mathbf{r} + \mathbf{r}'')} \langle m({\bf r})m(\mathbf{r} + \mathbf{r}'') \rangle\\ &= \int d\mathbf{r} \int d\mathbf{r}'' e^{-i (\mathbf{k} + \mathbf{p}) \cdot{\bf r}}e^{-i{\bf p}\cdot \mathbf{r}''} \langle m({\bf 0})m(\mathbf{r}'')\rangle \\ &= (2 \pi)^3 \delta(\mathbf{k} + \mathbf{p}) \int d\mathbf{r}'' e^{-i{\bf p}\cdot \mathbf{r}''} \langle m({\bf 0})m(\mathbf{r}'')\rangle\\ \end{align}$ donde cambié la variable de integración a

r^{″} = r^{'} - r

$\mathbf{r}'' = \mathbf{r}' - \mathbf{r}$ y usó la linealidad de la expectativa, luego usó la simetría traslacional, luego hizo el

r

$\mathbf{r}$ integral.

Presumiblemente, esto significa que Huang define

| \tilde{metro} (k) |^{2} = \int d r {mi}^{- i k \cdot r} ⟨ metro (0) metro (r) ⟩ .

$|\tilde{m}(\mathbf{k})|^2 = \int d\mathbf{r} \, e^{-i{\bf k}\cdot \mathbf{r}} \langle m({\bf 0})m(\mathbf{r})\rangle.$ Esta es una notación muy engañosa, porque el lado derecho no es en realidad igual a la norma al cuadrado de

\tilde{m} (k)

$\tilde{m}(\mathbf{k})$ , como se puede ver en el análisis dimensional. (Está estrechamente relacionado, como se puede ver adaptando el argumento anterior, pero difiere por un factor de

(2 π)^{3} δ (0)

$(2\pi)^3 \delta(\mathbf{0})$ .) Si Huang hubiera tenido cuidado, habría usado una notación diferente, como

S (k) = \int d r {mi}^{- i k \cdot r} ⟨ metro (0) metro (r) ⟩

$S(\mathbf{k}) = \int d\mathbf{r} \, e^{-i{\bf k}\cdot \mathbf{r}} \langle m({\bf 0})m(\mathbf{r})\rangle$ que es la notación estándar para una densidad espectral de potencia, en cuyo caso el resultado final sería

⟨ \tilde{metro} (k) \tilde{metro} (pag) ⟩ = (2 π)^{3} d (k + pag) S (k) .

$\langle \tilde{m}({\bf k})\tilde{m}({\bf p})\rangle = (2 \pi)^3 \delta(\mathbf{k} + \mathbf{p}) S(\mathbf{k}).$ Pero, ¿por qué Huang usaría una notación tan mala? Mi impresión es que, en general, es descuidado, lo que explica las reseñas extremadamente malas del libro en Internet. Libros cuidadosos, como Kardar, nunca cometerían tales errores.

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Sunyam

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Sunyam

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Respuestas (1)

knzhou

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