¿Por qué la longitud de la correlación diverge en el punto crítico?

No es la longitud de correlación del sistema lo que debe observar, sino la correlación de las fluctuaciones. Si T>>Tc, los giros están orientados aleatoriamente y la escala de longitud de las fluctuaciones es muy pequeña. A medida que se acerca a Tc, las fluctuaciones se vuelven más correlacionadas y la escala de longitud aumenta hacia el infinito. De manera similar, para el ferromagnético a temperaturas mucho menores que Tc, todos los espines están alineados. Las fluctuaciones en 0 < T << Tc tienen longitudes de correlación cortas. A medida que calienta el sistema, todavía está mayormente ordenado, pero aumenta el número de giros que apuntan en la dirección opuesta, al igual que la longitud de correlación de estas fluctuaciones.

Creo que su problema es que una longitud de correlación$\xi$no debe interpretarse como una correlación en el sentido de las estadísticas, por ejemplo

$\frac{<(s(x)-\lt s(x) \gt)(s(y)-<s(y)>)>}{\sqrt{<\left( s(x)-\lt s(x)>\right)^2 \lt(s(y)-\lt s(y)>)^2 \gt)}}$,

sino más bien definido a través de$<(s(x)-< s(x)>)(s(y)-<s(y)>)>=e^{-|x-y|/\xi}$

(ver por ejemplo ( https://physics.stackexchange.com/q/59690 ).

Suponga que, a temperatura cero, todos los giros están "congelados" y perfectamente alineados y, por lo tanto, perfectamente correlacionados (en el sentido estadístico). Sin embargo, desde$s(x)=<s(x)>$y$s(y)=<s(y)>$en este caso se sigue que$\xi=0$.

En cuanto a la segunda parte de la pregunta: Los puntos críticos son transiciones de fase que corresponden a puntos fijos en el flujo del grupo de renormalización. Lo que esto significa es que el proceso de dividir consecutivamente la red de espín en bloques, integrarlos y construir un nuevo hamiltoniano entre esos bloques ha llegado a un punto fijo: la forma del hamiltoniano ya no cambia, solo sus parámetros (acoplamientos) reajustarse con cualquier otra operación de giro en bloque. Esto, a su vez, significa que el sistema ha perdido su escala y se ha vuelto libre de escala. Entonces, si tuviera que tomar dos fotografías del material, una de una pulgada y la otra de una micropulgada, no podría decirme cuál es cuál. La única forma de describir esto matemáticamente es asumiendo una ley de potencia que produce$\xi(T) \sim (T-T_c)^{-\nu}$dónde$T_c$es la temperatura crítica y$\nu$es la dimensión de escala que no es necesariamente un número entero. Por lo tanto, la longitud de correlación diverge en el punto crítico.