¿Cuáles son ejemplos de Lagrangianos que no tienen la forma T−UT−UT-U?

Para una partícula libre relativista pensarías que el Lagrangiano sería como

y no son lo mismo. Esta elección (2) de término cinético da un momento canónico

como debería ser.

Sólo un par de comentarios. El segundo es el más interesante, en mi opinión.

(1) El Lagrangiano de una partícula cargada en un campo electromagnético asignado todavía tiene un Lagrangiano${\cal L}= T-U$, pero aquí$U$no es una función estándar dependiente de la posición, ya que generalmente también depende de$\dot{q}$y$t$como es bien sabido (ver el libro de texto de Jackson, por ejemplo).

La diferencia entre la estructura de$T$y$U$es ahora que la dependencia de$U$en$\dot{q}$es de primer orden en lugar de segundo como en$T$. De lo contrario, se podría violar el determinismo ("normalidad" de las ecuaciones de Euler-Lagrange). Sin embargo, uno no puede pensar en$U$como energía potencial. La misma estructura de$U=U(t,q, \dot{q})$surge si se incluye en${\cal L}$fuerzas de inercia cuando se trabaja en un marco de referencia genérico no inercial.

(2) Considere una partícula clásica en la línea real sumergida en un líquido que genera una fuerza de fricción$-\gamma v$, con$\gamma>0$constante. También podemos suponer que existe una fuerza posicional con energía potencial$U=U(x)$.$m>0$es la masa de la partícula y usamos su coordenada$x$como coordenada lagrangiana. Este sistema no es invariante bajo inversión de tiempo, sin embargo hay un Lagrangiano para este sistema:

De hecho, produce inmediatamente la ecuación newtoniana correcta:

En una de sus conferencias de mecánica clásica (creo que el último conjunto), Leonard Susskind respondió una pregunta similar diciendo (y no puedo citar directamente porque no tengo el video frente a mí) que las lagrangianas son simplemente funciones que conducen a las ecuaciones de movimiento correctas. Agregaré que esas ecuaciones de movimiento se pueden resolver y el comportamiento resultante se puede comparar con la naturaleza como prueba de corrección. Susskind continuó diciendo que no existe una regla de que el Lagrangiano de un sistema deba ser T - U y que puede haber "términos cruzados" que describen ciertas interacciones. Fue más allá al decir algo que realmente me quedó grabado, y es que cuando estamos aprendiendo cálculo, nunca preguntamos: "¿De dónde obtenemos las funciones que estamos aprendiendo a analizar?". Básicamente, los inventamos o los adivinamos o los deducimos de los comportamientos observados (en física, de todos modos). Esa declaración me pareció bastante profunda.

El punto es bastante sutil para un físico sin conocimientos matemáticos, ya que la distinción es bastante técnica. Según Arnold (ver Referencias), damos las siguientes definiciones.

Definición. Dejar$M$sea ​​una variedad diferenciable,$TM$su haz tangente y$L : TM \to M$una aplicación diferenciable. Una aplicación$\gamma : \mathbb R \to TM$es un movimiento en un sistema lagrangiano con variedad de configuración TM y función lagrangiana$L$si y solo si$\gamma$es extremal para el funcional

$$\begin{equation} \Phi(\gamma) = \int_{t_0}^{t_1} \mbox{dt} \, L(\dot{\gamma}). \end{equation}$$ $\dot{\gamma}$es dicho vector velocidad , $\dot{\gamma}(t) \in TM_{\gamma(t)}.$

Coordenadas locales$q_1, \dots, q_n$del punto$\gamma(t)$evolucionar según la ecuación de Euler-Lagrange

Ahora, supongamos$M$es una variedad riemanniana , es decir, un par$(M, g)$, con$M$variedad diferenciable y$g$una forma cuadrática definida positiva, generalmente indicada como$\langle \cdot , \cdot \rangle$. En este caso, y solo en este caso , podemos definir una energía cinética como se entiende habitualmente:

Definición Let$M$sea ​​una variedad riemanniana. Una forma cuadrática$K = \frac{1}{2}\langle v, v \rangle$, dónde$v \in TM_x$, definida en todos los haces tangentes se llama energía cinética . Nosotros decimos eso$U$es una energía potencial si y sólo si$U : M \to \mathbb R$es una función diferenciable.

Definición. Un sistema lagrangiano sobre una variedad riemanniana se dice natural si y sólo si$L = K - U$, para algunos$K$y$U$previamente definido.

En la mecánica clásica, uno trata con variedades riemannianas todo el tiempo (aparte de las situaciones "patológicas"), por lo que no le importa la distinción. De hecho, en los cursos básicos ese problema nunca surge. Pero debe señalarse (por los maestros, quiero decir) que el espacio de Minkowski$\mathcal M^4$de la relatividad especial no es una variedad riemanniana, en realidad es una pseudo-riemanniana (la métrica no es definida positiva), por lo que la definición de lagrangiana debe tomarse con cuidado. Está claro que la situación en la relatividad general es aún más "dramática" y definir un lagrangiano es un problema no trivial.

El ejemplo más conocido de tal lagrangiano es, creo, el de una partícula libre en relatividad especial:$L = -mc^2 \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} }$. (Ver Goldstein)

Referencias. VI Arnold, Métodos matemáticos de la mecánica clásica y celeste , capítulo IV.ù H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Mecánica clásica , 3ª edición, Par. 7.9.

Definición de la función Lagrangiana

Según el supuesto de Landau-Lifchitz, la definición del principio de acción mínima contiene dos puntos sustanciales.

• Primero nos dice que cualquier sistema mecánico está totalmente caracterizado por una función que depende de coordenadas generalizadas, de la primera derivada de las coordenadas generalizadas y del tiempo. Tal función se llama lagrangiana.

• El segundo punto trata del propio problema de minimización. El movimiento del sistema satisface lo siguiente. Considere dos instantes distintos y las coordenadas generalizadas asociadas que describen la posición del sistema en esos dos instantes. Entre esos dos puntos el movimiento se hace de tal manera que se minimiza la integral de la función lagrangiana entre esos dos instantes.

A partir de ahí se puede obtener la ecuación de Lagrange. no se dice nada de$L = T-U$.

Expresión del Lagrangiano para una partícula libre

Considerando un punto material libre, elegimos describir el movimiento en un tipo específico de marco. Un encuadre donde el espacio pueda considerarse homogéneo, isotrópico y donde el tiempo sea uniforme parece ser la elección más acertada. Suponiendo que exista tal marco (se llama marco de referencia galileano), ¿cuál sería la forma del Lagrangiano?

Debido a que el espacio es homogéneo, el Lagrangiano no puede contener ningún término que involucre las coordenadas generalizadas. En otras palabras, las leyes del movimiento no pueden depender de dónde se encuentra realmente el sistema. Como el tiempo también es homogéneo, llegamos a la misma conclusión, el tiempo no puede aparecer explícitamente en el Lagrangiano.

El espacio también es isotrópico, lo que significa que las leyes del movimiento no pueden depender de la dirección del movimiento en el espacio. Entonces el Lagrangiano solo depende de la norma de la velocidad y por tanto no de la dirección del vector velocidad. Entonces la función lagrangiana solo depende del valor absoluto de la velocidad o del cuadrado del vector velocidad.$L = a v^2$.

Si pones esta forma en la ecuación de Lagrange obtendrás que$v^2$es una constante independiente del tiempo. Entonces obtendrás la primera ley de Newton. Siguiendo este razonamiento con el estudio de dos marcos galileanos que se mueven de uno a otro terminará en L proporcional al cuadrado de la velocidad.

Expresión general del Lagrangiano

Considere un sistema aislado constituido por varias partículas. Puede describir las interacciones entre todas las partículas con una función que depende únicamente de la posición de cada partícula. Puedes llamar a esta función$-U$.

Es importante ver por qué esta función no puede depender del tiempo. En mecánica clásica consideramos que la interacción se propaga instantáneamente de una partícula a otra. Entonces el tiempo no puede aparecer explícitamente en esta función -U.

Por tanto, la forma general de la función lagrangiana es$L = T-U$. Usando la uniformidad del tiempo y las ecuaciones de Lagrange, podrá encontrar que una cierta cantidad no depende del tiempo:

La integral de acción puede estar en forma de "acción de Jacobi", que se ve así:

donde usualmente$E$es constante,$V=V(x)$es la energía potencial y$T=2m$es la energía cinética.

Para más información sobre esto, consulte:

1. Brown, JD y JW York (1989). "La acción de Jacobi y la recuperación del tiempo en la relatividad general". Revisión física D40 , 3312–3318. doi:10.1103/PhysRevD.40.3312 .
2. Lanczos, C. (1970). Los principios variacionales de la mecánica . Prensa de la Universidad de Toronto, Toronto.

Hay muchas otras versiones para derivar las ecuaciones de movimiento del cálculo variacional, consulte:

1. Spivak, M. (2010). Física para Matemáticos, Mecánica I. Publicar o perecer.

I) Es interesante observar que si el hamiltoniano$H=\frac{p^2}{2m}+U$es de la forma cinética más energía potencial, entonces el llamado Hamiltoniano Lagrangiano

también tiene la forma de energía cinética menos energía potencial si usamos una de las ecuaciones de Hamilton$p\approx m \dot{q}$. Fuera de la cáscara, tal interpretación es más desafiante. (Aquí las palabras on-shell y off-shell se refieren a si las ecuaciones de movimiento (eom) se cumplen o no).

II) Un Lagrangiano hamiltoniano más general es de la forma

dónde$z^I$son las variables fundamentales en la teoría,$\theta=\theta_I(z) \mathrm{d}z^I$es un potencial (pre)simpléctico de una sola forma,$H=H(z)$es el hamiltoniano,$\lambda^a$son multiplicadores de Lagrange, y$\chi_a=\chi_a(z)$son restricciones. Hay varios mecanismos en la formulación hamiltoniana que podrían complicar o incluso obstruir una interpretación como energía cinética menos potencial para el lagrangiano hamiltoniano.$L_H$:

• a) El hamiltoniano$H$no tiene la forma de energía cinética más energía potencial.

• b) Restricciones$\chi_a$solo se satisfacen en la cáscara. Fuera de la cáscara, el término$\lambda^a \chi_a$no tiene interpretación como energía cinética ni potencial.

• c) La forma de dos$\omega= \mathrm{d}\theta$puede estar degenerado, es decir, el espacio de fase puede ser presimpléctico en lugar de simpléctico. En tales casos, no existe el teorema de Darboux para asegurar que$\theta$es localmente de la forma$p_i \mathrm{d}q^i$.

III) Si OP solo quiere un ejemplo simple, aquí hay un ejemplo de una partícula de punto libre en dos dimensiones [1]

Este Lagrangiano (C) es diferente de la energía cinética y del Lagrangiano estándar

Sin embargo, las ecuaciones de Euler-Lagrange son las mismas:

Es un ejercicio sencillo comprobar que el Lagrangiano (C) no es trivial en el sentido OP 1 y 2, es decir, que la diferencia entre$L$y$L_0$(donde este último se multiplica por una constante$\alpha$) nunca es una derivada de tiempo total:

Sugerencia para probar la ec. (F): Basta comprobar que la derivada funcional de$\int \! \mathrm{d}t~(L-\alpha L_0)$es distinto de cero. ¿Por qué?

IV) Para otro ejemplo elemental, vea esta publicación de Phys.SE.

Referencias:

1. M. Henneaux, Ecuaciones de movimiento, relaciones de conmutación y ambigüedades en el formalismo lagrangiano, Ann. física 140 (1982) 45 .

Hasta donde yo sé, en mecánica clásica$L$se define exactamente como la diferencia entre la energía cinética y la potencial. Por el contrario, es el hamiltoniano que no siempre es igual$T+U$, y debe definirse como la transformada de Legendre de Lagrangian.

En modelos más complicados, como en la teoría de campos, el Lagrangiano podría ser más complicado. Esto se debe a que los lagrangianos, como operadores hamiltonianos en mecánica cuántica, no están determinados por una regla universal o por un teorema. Se eligen sólo porque funcionan , es decir, por una analogía con la mecánica clásica, o porque conducen a ecuaciones de Euler verificadas físicamente. En este caso, no hay ninguna razón especial por la cual un lagrangiano deba ser separable en dos partes distintas.$U$y$T$términos.

Para derivar las ecuaciones de campo de la relatividad general (en el vacío), la densidad lagrangiana es simplemente el escalar de Ricci, que mide las desviaciones del espacio-tiempo plano. Este es un buen ejemplo de un Lagrangiano que no tiene una interpretación real de "energía": ¡en el vacío claramente no hay energía en la mecánica clásica!

También tenga en cuenta que hay muchos ejemplos en mecánica de fluidos donde$L\neq T-V$. Particularmente cuando se utiliza el marco de referencia Euleriano . Por ejemplo, para ondas de gravedad superficiales de aguas profundas irrotacionales, el lagrangiano se escribe como

$L = \int \left(\int_{-\infty}^{\eta} \phi_t +\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 \ dz \right)+ \frac{g}{2}\eta^2 \ dx$

dónde$\phi$es el potencial de velocidad,$g$es la aceleración de la gravedad y$\eta$es la altura de la superficie. En este caso,$L\neq T-V$, más bien podemos reconocerlo como (menos) la presión en la superficie libre. Este es el caso porque la transformación de variables lagrangianas (en el sentido de seguir partículas en el fluido) a variables eulerianas no es canónica .

Además, tenga en cuenta que la densidad lagrangiana produce dinámicas únicas hasta la multiplicación por constantes y la suma de gradientes perfectos.

Siempre consideré que el ejemplo canónico es el lagrangiano para una carga puntual (con carga$q$y masa$m$) en un campo EM externo:$L(\vec{x},\vec{v}) = \frac{1}{2} m v^2 -q \phi + q \vec{A}(\vec{x}) \cdot \vec{v}$, dónde$\phi$es el potencial escalar para el campo eléctrico, y$\vec{A}$es el vector potencial del campo magnético.

Asumo el caso de que puedas escribir$L=T-U$tiene la estructura

La teoría 2+1D Chern-Simons es un ejemplo que no se puede escribir de esta forma.

Para los no abelianos, Chern-Simons tiene la acción

Incluso para la teoría de Abelian Chern-Simons, tiene la acción,

El campo calibre Abelian de 1 forma tiene$a=a_0 dt+a_1 dx_1+a_2 dx_2$Si elige calibre temporal$a_0=0$, verá que la teoría abeliana de Chern-Simons tiene la forma:

Al identificar$a_1 \sim x$y$a_2 \sim y$, por lo que efectivamente Lagrangian es como:

dónde$\vec{q}=(x,y)$y$\vec{A}=(A_x,A_y)=\frac{k}{4\pi}(y,-x)$.

Efectivamente, es como un problema de mecánica cuántica: una partícula con desplazamiento$\vec{q}$moviéndose en un campo magnético uniforme:$B=\nabla \times A=-\frac{k}{2\pi} \hat{z}$.

Verá que la teoría de Chern-Simons se deriva$L=\frac{k}{4\pi} \big( \dot{x}\;y -\dot{y}\;x\big) = \dot{\vec{q}} \cdot \vec{A}(x,y)$no obedece a esta estructura$L=T(\dot{q})-U(q)$.

Otro ejemplo, ampliando la respuesta de Qmechanic, puede ser el oscilador armónico 2D, con el Lagrangiano:

$L = m\dot{q}_1\dot{q}_2 - m\omega^2q_1q_2$

este lagrangiano tiene el mismo EoM que el oscilador armónico estándar habitual, pero es bastante diferente, el teorema de Noether hace un gran lío con las simetrías habituales y las cantidades conservadas, por ejemplo, el momento angular$l = m(q_1\dot{q}_2-q_2\dot{q}_1)$tiene asociada una simetría comprimida:

es un poco raro, pero algo bueno.

En los casos de campos escalares, el lagrangiano ya no toma la forma de cinética menos potencial sino que se generaliza como energía cinética menos energía de gradiente menos energía potencial.