¿Qué significa un lagrangiano de la forma L=m2x˙4+U(x)x˙2−W(x)L=m2x˙4+U(x)x˙2−W(x)L=m^2\dot x^4 +U(x)\dot x^2 -W(x) representan?

Lagrangiano:

$$L~=~\frac{1}{3}T^2+2TV-V^2, \qquad T~:=~\frac{m}{2}\dot{x}^2.$$

Ecuación de Lagrange:

$$2(T-V)V^{\prime}~=~\frac{\partial L}{\partial x} ~=~ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) ~=~ \frac{d}{dt} \left[\left(\frac{2}{3}T +2V\right)m\dot{x}\right]$$ $$~=~ \left(\frac{2}{3}T +2V\right)m\ddot{x} + \left(\frac{2}{3}m\dot{x}\ddot{x} +2V^{\prime}\dot{x}\right)m\dot{x} ~=~ 2(T+V)m\ddot{x} +4TV^{\prime},$$ o,

$$- 2(T+V)V^{\prime}~=~ 2(T+V)m\ddot{x}.$$

En otras palabras, se obtiene la segunda ley de Newton$^1$

$$m\ddot{x}~=~-V^{\prime}. \qquad\qquad\qquad(N2)$$

Entonces el lagrangiano$L$es equivalente al habitual$T-V$en el nivel clásico.

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$^1$Uno puede preguntarse acerca de la segunda rama.$T+V=0$, pero desde$T+V={\rm const}$es una primera integral de (N2), la segunda rama ya está incluida en la primera rama (N2).