¿Cuál es el significado físico del parámetro afín para la geodésica nula?

Si te olvidas de la afinidad por un momento: puedes parametrizar una geodésica nula de la forma que quieras. En realidad, puede parametrizar cualquier geodésica (diablos, incluso cualquier curva) de la forma que desee; todo lo que necesita es una función monótona que mapee puntos en la geodésica a valores únicos del parámetro. Pero para las geodésicas temporales, casi siempre se usa el tiempo adecuado porque es una cantidad física agradable y sensata que también funciona como parámetro.

Con las geodésicas nulas, no tiene la opción de tiempo adecuado porque el mapeo de tiempo adecuado asigna el mismo valor a todos los puntos de la geodésica. Así que tienes que elegir alguna otra parametrización. En principio, nuevamente, puede ser cualquier función monótona que mapee puntos en la geodésica a valores únicos del parámetro.

Sin embargo, es posible elegir una forma de parametrizar la geodésica nula de una manera que sea "sensible" de la misma manera que el tiempo adecuado es "sensible" para una geodésica temporal. Esto se llama un parámetro afín . En particular, una forma de definir un parámetro afín es que satisfaga la ecuación geodésica. (Nota: la ecuación geodésica no funciona para cualquier parametrización arbitraria de una geodésica. Debe usar un parámetro afín). Otra forma es decir que si la parametrización es afín, el transporte paralelo conserva el vector tangente, como lo hace Wikipedia. Otra forma es decir que la aceleración es perpendicular a la velocidad dado un parámetro afín, como hizo Ron. Todas estas definiciones son equivalentes.

Resulta, aunque desconozco los detalles de una prueba, que existe un único parámetro afín para cualquier geodésica, hasta transformaciones de la forma$t \to at+b$.

Siguiendo la respuesta de David Z, la prueba del último párrafo es:

• ya que$t$es un parámetro afín que satisface:

  $$\begin{equation} \frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2}-\Gamma^a_{bc}\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}=0 \tag1 \end{equation}$$

• El parámetro$t'$debe estar relacionado de alguna manera con$t$, eso es:

  $$t'=t'(t) \tag2$$

• usa la regla de la cadena para obtener:

• el parámetro afín$t'$también debe satisfacer:

  $$\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt'^2}-\Gamma^a_{bc}\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt'}\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt'}=0 \tag4$$

• comparando$(3)$y$(4)$obtenemos las condiciones de que:

  $$\left(\frac{\mathrm dt'}{\mathrm dt}\right)^2\neq0 ~~\wedge~~ \frac{\mathrm d^2t'}{\mathrm dt^2}=0 \tag5$$

• cuyos rendimientos$t'=\alpha t+\beta$con$\alpha \neq0$

Un parámetro afín es aquel que hace que la aceleración sea perpendicular a la velocidad. Es el límite del tiempo adecuado a medida que toma el límite en el que la geodésica se vuelve nula, reescalada para que la longitud total permanezca finita.

Una propiedad útil de la parametrización afín es la siguiente. En cualquier punto a lo largo de la geodésica podemos definir el momento$k^\mu = \dot X^\mu$donde el punto es la derivada con respecto al tiempo afín. Este impulso se define hasta un reescalado global, debido a la posibilidad de reescalar el parámetro. Ahora lo útil es que la misma derivada, con respecto al mismo parámetro afín, pero en un punto diferente a lo largo de la geodésica da ahora la cantidad de movimiento en un punto diferente. Si tuviera una partícula sin masa con la cantidad de movimiento inicial en el primer punto, entonces esta cantidad de movimiento final le da la cantidad de movimiento desplazada hacia el rojo o hacia el azul que la partícula tendría a lo largo de la geodésica.

Esto implica que el parámetro afín puede verse como proporcional a la fase de la función de onda cuántica o fase de la ecuación de onda correspondiente.

Según Lasenby et al. (Relatividad general Una introducción a los físicos) [sección 3.16] dada una curva$x^{\mu}(u)$,$u$es un parámetro afín si el vector tangente con respecto a$u$se transporta paralelamente a lo largo de la curva.