En una región del espacio que no tiene ningún objeto masivo, los rayos de luz viajan paralelos entre sí o, simplemente, en línea recta. Sin embargo, en una región del espacio positivamente curvada (como cerca de un planeta o una estrella), como en esta imagen , los rayos de luz se "doblan" si ese cuerpo está en su camino.
Supuestamente, los rayos de luz viajan desde algún cuerpo pero hay una estrella en medio de ese camino y se curvan para que la luz nos llegue a nosotros, los observadores. ¿Estoy en lo correcto si digo que la razón por la que los rayos de luz se doblan es porque ese camino en la región curva toma el menor tiempo para los rayos de luz?
A mi modo de ver, si trazo el camino de la luz en ausencia de la estrella y luego superpongo ese camino cuando la estrella está presente, el nuevo camino se curva pero la distancia es menor en este caso, por lo que la luz tomará ese camino. .
De hecho, el principio de Fermat aún se cumple, en la siguiente forma :
Dejar ser un evento (la fuente) y una línea temporal del mundo (el observador) en un espacio-tiempo . Luego una suave curva nula de a es un rayo de luz (geodésica nula) si, y solo si, su hora de llegada en es estacionario bajo variaciones de primer orden de dentro del conjunto de curvas suaves nulas de a .
En otras palabras, esto dice que dado un evento fuente y un observador, de todas las posibles trayectorias que se mueven a la velocidad de la luz, la trayectoria real será aquella para la cual el tiempo de llegada sea estacionario (que incluye el mínimo). Lo que esto muestra es que todos los efectos del campo gravitatorio simplemente se encapsulan en el tiempo de llegada, como dices.
Schneider, Ehlers y Falco, Gravitational Lenses , sección 3.3, página 100
Bueno, no es posible escribir un principio de acción estacionario (SAP) para geodésicas nulas/partículas sin masa sin el uso de variables auxiliares, cf. por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada. Esto hace que cualquier interpretación de la acción como (proporcional al) tiempo adecuado sea un desafío.
Sin embargo, es posible usar dicho SAP para derivar el principio de Fermat, al menos para algunos espaciotiempos curvos, cf. mi respuesta Phys.SE aquí .
Véase también Ref. 1 y esta y esta publicación relacionada con Phys.SE.
Referencias:
La luz viaja a lo largo de caminos llamados geodésicas. Las geodésicas tienen la propiedad de que son los caminos de mínima distancia entre dos puntos. Por lo tanto, toma menos tiempo viajar a lo largo de una geodésica que cualquier otro camino entre dos puntos. La razón por la que la luz viaja a lo largo de una geodésica es que estos caminos también tienen la propiedad de que son localmente "rectos". Básicamente, la luz piensa que viaja en línea recta todo el tiempo.
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