Masa en reposo y clasificación de Wigner

Question

Masa en reposo y clasificación de Wigner

WillO

Creo (pero corríjame si me equivoco) que entiendo la filosofía básica y la mayoría de las matemáticas involucradas en la clasificación de partículas de Wigner a través de representaciones grupales. Pero me falta un poco de intuición física clave que espero que alguien pueda proporcionar.

Aquí está la parte que creo que entiendo (sáltate este párrafo y el siguiente si solo quieres llegar a la pregunta): El espacio de estado de un sistema físico es la proyectivización de un espacio de Hilbert $H$ . Un elemento del grupo de Poincaré mueve este sistema a una nueva ubicación en el espacio-tiempo y cambia su estado de alguna manera. Creemos que esto no debería afectar los resultados de los experimentos, por lo que el producto interno de dos vectores de estado no debería verse afectado. Así, el grupo de Poincaré actúa sobre la proyectivización de $H$ de una manera que preserva los productos internos. Esta acción eleva a una acción de la cobertura universal del grupo Poincaré sobre $H$ sí mismo. Wigner prueba (más o menos) que esta acción debe ser unitaria. Además, si el sistema físico es una sola partícula, tiene sentido que la representación sea irreducible. Entonces, para clasificar las partículas, debemos clasificar las representaciones unitarias irreducibles de la cubierta universal del grupo de Poincaré.

También (en su mayoría) entiendo cómo va la clasificación: dejamos $SL_2({\mathbb C})$ actuar sobre el espacio de Minkowski y encontrar representaciones de los grupos de isotropía. Así, cada partícula está asociada con alguna órbita, y la órbita se caracteriza (más o menos) por su distancia (lorentziana) desde el origen. $m$ . Para cada una de estas órbitas, obtenemos un conjunto discreto de representaciones irreducibles (es decir, partículas) provenientes de representaciones del grupo de isotropía de un punto representativo.

Esto es lo que no entiendo: ahora identificamos el parámetro (continuo) $m$ con la masa en reposo de la partícula y el parámetro discreto restante con el giro de la partícula. Mi pregunta es:

¿Por qué nos identificamos? $m$ con la masa restante en oposición a alguna otra propiedad de la partícula?

Tal vez la respuesta es solo esa $m$ parece estar diciéndonos algo sobre la partícula y que la masa en reposo es el único candidato natural que viene a la mente. Pero sospecho que hay una razón más profunda, y que me estoy perdiendo.

Uno podría hacer una pregunta análoga sobre el parámetro discreto y el espín, pero me resulta más fácil pensar en la masa y, al menos (en este contexto), es igualmente misteriosa para mí, así que me gustaría entender eso primero.

curioso

¿Qué son las partículas? No existe tal cosa en la naturaleza. ¿Está hablando de los estados metaestables de un campo cuántico y las leyes de conservación (casi) asociadas?

WillO

@CuriousOne: simpatizo con su insistencia en que no existen partículas en la teoría cuántica de campos moderna, pero sí creo (y una vez más, corríjame si me equivoco) que Wigner pensó en términos de partículas, y yo Actualmente estoy tratando de entender las cosas a ese nivel. Eventualmente, estoy seguro de que querré transferir esta comprensión a un modelo de solo campos, pero por ahora, creo que llegaré allí más rápido si puedo entender lo que estaba pensando Wigner.

curioso

Lo que Wigner pensó no hace más diferencia para la naturaleza que lo que tú o yo pensemos, así que, de nuevo, tengo que preguntarte ¿en qué parte de la naturaleza has visto partículas? Solo he estado contando cuantos con mis tubos fotomultiplicadores y detectores de tiras de silicio, las partículas nunca quedaron atrapadas allí, seguro. Sin embargo, siga persiguiendo esas partículas, debería ser divertido una vez que llegue al nivel de los datos experimentales reales y se dé cuenta de que no están allí.

prahar

Hay en principio una definición de partículas independiente de la naturaleza. Lo que Wigner llamaba una partícula era simplemente una "representación irreducible del Álgebra de Poincaré". Así, la noción de partícula en este sentido es simplemente una construcción matemática. Es en este sentido que @WillO hace su pregunta. Si esta noción de partícula tiene algo que ver con las habituales que se encuentran en la naturaleza o QFT es una cuestión completamente diferente.

prahar

@WillO: aquí está mi definición de masa en reposo: es la energía de la partícula cuando está en reposo. Esta es la extensión natural de la antigua idea de masa extendida a SR. De todos modos, con esta definición de masa en reposo -

m

$m$ es el candidato natural para llamar masa de reposo. (¿Entendí su pregunta? Hasta cierto punto, es una pregunta filosófica. Es solo un nombre. Lo importante es que es una cantidad invariante de Lorentz y, por lo tanto, puede usarse para etiquetar representaciones).

WillO

@Prahar: Mi pregunta es precisamente <i>por qué</i>

m

$m$ es el candidato natural para llamar masa de reposo. Entiendo que uno puede hacer esto parte de la definición; no me ha quedado claro por qué esta definición es más natural que llamar

m

$m$ el volumen o la temperatura.

prahar

@WillO: porque es literalmente la "MASA EN REPOSO", es decir, la masa de la partícula cuando está en reposo. ¿Cómo más debería llamarlo? No entiendo el punto de tu pregunta.

WillO

@Prahar: Mi comprensión ha mejorado un poco después de la respuesta de Andrew, que todavía estoy digiriendo. Pero por supuesto

m

$m$ NO es "literalmente la masa en reposo". Es literalmente una propiedad de una representación de grupo, no de una partícula, y las representaciones de grupo no tienen literalmente masas en reposo. Mi problema es entender la forma en que las propiedades de la representación (como

m

$m$ ) corresponden a propiedades de la partícula (como masa en reposo).

prahar

@WillO - Es una propiedad de la representación del grupo - es el valor propio de

- P^{2}

$-P^2$ . En el marco de descanso

P^{i} = 0

$P^i = 0$ y por lo tanto

- P^{2} = (P^{0})^{2}

$-P^2 = (P^0)^2$ . Así, en este marco,

m

$m$ es literalmente

P^{0}

$P^0$ . Así que sí, lo que dije es cierto.

prahar

@WillO: si su pregunta era entender cómo

m

$m$ nos habla de las propiedades de la partícula, entonces estaba bastante mal planteado. La redacción de su problema me hizo creer que estaba preguntando por qué

m

$m$ se llama masa en reposo, que tiene una respuesta prácticamente trivial. Si su pregunta es por qué la masa en reposo caracteriza a una partícula, esa es una pregunta más compleja que responde Andrew.

WillO

@Prahar: lamento que haya tenido problemas para seguir la pregunta, pero aún me parece que la pregunta está clara tal como está escrita: tenemos un número

m

$m$ eso aparece en un contexto puramente matemático y luego lo interpretamos como si tuviera un significado físico. La pregunta es: ¿Cuál es la intuición que conecta a los dos?

Respuestas (2)

Masa en reposo y clasificación de Wigner

¿Qué son las partículas? No existe tal cosa en la naturaleza. ¿Está hablando de los estados metaestables de un campo cuántico y las leyes de conservación (casi) asociadas?
@CuriousOne: simpatizo con su insistencia en que no existen partículas en la teoría cuántica de campos moderna, pero sí creo (y una vez más, corríjame si me equivoco) que Wigner pensó en términos de partículas, y yo Actualmente estoy tratando de entender las cosas a ese nivel. Eventualmente, estoy seguro de que querré transferir esta comprensión a un modelo de solo campos, pero por ahora, creo que llegaré allí más rápido si puedo entender lo que estaba pensando Wigner.
Lo que Wigner pensó no hace más diferencia para la naturaleza que lo que tú o yo pensemos, así que, de nuevo, tengo que preguntarte ¿en qué parte de la naturaleza has visto partículas? Solo he estado contando cuantos con mis tubos fotomultiplicadores y detectores de tiras de silicio, las partículas nunca quedaron atrapadas allí, seguro. Sin embargo, siga persiguiendo esas partículas, debería ser divertido una vez que llegue al nivel de los datos experimentales reales y se dé cuenta de que no están allí.
Hay en principio una definición de partículas independiente de la naturaleza. Lo que Wigner llamaba una partícula era simplemente una "representación irreducible del Álgebra de Poincaré". Así, la noción de partícula en este sentido es simplemente una construcción matemática. Es en este sentido que @WillO hace su pregunta. Si esta noción de partícula tiene algo que ver con las habituales que se encuentran en la naturaleza o QFT es una cuestión completamente diferente.
@WillO: aquí está mi definición de masa en reposo: es la energía de la partícula cuando está en reposo. Esta es la extensión natural de la antigua idea de masa extendida a SR. De todos modos, con esta definición de masa en reposo - $m$ es el candidato natural para llamar masa de reposo. (¿Entendí su pregunta? Hasta cierto punto, es una pregunta filosófica. Es solo un nombre. Lo importante es que es una cantidad invariante de Lorentz y, por lo tanto, puede usarse para etiquetar representaciones).
@Prahar: Mi pregunta es precisamente <i>por qué</i> $m$ es el candidato natural para llamar masa de reposo. Entiendo que uno puede hacer esto parte de la definición; no me ha quedado claro por qué esta definición es más natural que llamar $m$ el volumen o la temperatura.
@WillO: porque es literalmente la "MASA EN REPOSO", es decir, la masa de la partícula cuando está en reposo. ¿Cómo más debería llamarlo? No entiendo el punto de tu pregunta.
@Prahar: Mi comprensión ha mejorado un poco después de la respuesta de Andrew, que todavía estoy digiriendo. Pero por supuesto $m$ NO es "literalmente la masa en reposo". Es literalmente una propiedad de una representación de grupo, no de una partícula, y las representaciones de grupo no tienen literalmente masas en reposo. Mi problema es entender la forma en que las propiedades de la representación (como $m$ ) corresponden a propiedades de la partícula (como masa en reposo).
@WillO - Es una propiedad de la representación del grupo - es el valor propio de $-P^2$ . En el marco de descanso $P^i = 0$ y por lo tanto $-P^2 = (P^0)^2$ . Así, en este marco, $m$ es literalmente $P^0$ . Así que sí, lo que dije es cierto.
@WillO: si su pregunta era entender cómo $m$ nos habla de las propiedades de la partícula, entonces estaba bastante mal planteado. La redacción de su problema me hizo creer que estaba preguntando por qué $m$ se llama masa en reposo, que tiene una respuesta prácticamente trivial. Si su pregunta es por qué la masa en reposo caracteriza a una partícula, esa es una pregunta más compleja que responde Andrew.
@Prahar: lamento que haya tenido problemas para seguir la pregunta, pero aún me parece que la pregunta está clara tal como está escrita: tenemos un número $m$ eso aparece en un contexto puramente matemático y luego lo interpretamos como si tuviera un significado físico. La pregunta es: ¿Cuál es la intuición que conecta a los dos?

Arnold Neumaier · Answer 1

Tenemos un número m que aparece en un contexto puramente matemático y luego lo interpretamos como si tuviera un significado físico. La pregunta es: ¿Cuál es la intuición que conecta a los dos?

La intuición que conecta a los dos es esencialmente idéntica a la razón por la cual Wigner conecta la noción puramente física de una partícula elemental con la noción puramente matemática de una representación unitaria irreducible del grupo de Poincaré.

Para cualquier sistema cuántico relativista, el 4-momentum total es un 4-vector $P$ cuyos componentes son operadores conmutadores. En un estado propio común de estos operadores, $P$ se convierte en un vector numérico, a partir del cual se puede calcular la masa total $m$ a través de la fórmula $(mc)^2=P^2$ (en la métrica +---). En un marco de reposo, los componentes espaciales se desvanecen, de modo que $P^2=P_0^2=(E/c)^2$ , dónde $E$ ist el resto energía, dando $E=mc^2$ . Esta es la razón por $m$ se llama masa en reposo.

El teorema de Noether ahora dice que el cuadrivector $P$ es el generador infinitesimal del grupo de simetrías de traducción, que es un subgrupo del grupo de Poincaré. Por lo tanto, el grupo de Poincaré actúa en alguna representación unitaria, y $P$ representa la imagen del generador de grupos de traducción en esta representación.

Para un sistema elemental (generalmente conocido como una partícula - elemental) se hace el requisito adicional de que no hay un subsistema invariante de Poincaré, lo que se traduce en la irreductibilidad de la representación. Desde $P^2$ es un operador de Casimir, tiene en cualquier representación irreducible un valor numérico constante $M^2$ . Si esta representación irreductible es la representación de un sistema elemental, entonces tenemos $M^2=(mc)$ ^ 2, lo que da $M=mc$ . Ahora, en el presente contexto, las unidades se eligen típicamente de modo que la velocidad de la luz tome el valor 1.

Por lo tanto encontramos que el número $M$ que surge en un contexto puramente matemático tiene la interpretación física de una masa en reposo siempre que esta representación pertenezca a la de una partícula.

El mismo tipo de razonamiento se aplica de manera más general, cada vez que un concepto matemático recibe una etiqueta física.

Esto es exactamente lo que estaba buscando y, de hecho, lo había descubierto mucho después de publicar la pregunta (pero mucho antes de que publicara esta respuesta). Es genial tener mi comprensión tentativa confirmada. Muchas gracias de verdad.

Andrés · Answer 2

Andrés

Por lo general, el primer paso para derivar las repeticiones de Poincaire es ir al marco de reposo de la partícula. Esto equivale a elegir una base donde $P^0$ actuando sobre el estado es distinto de cero, y donde el valor propio a de $P^i$ son cero. Podemos hacer esto si el impulso es temporal, es decir, si el valor propio de $P_\mu P^\mu$ es negativo (en firma -+++). Además, el signo del valor propio de $P^0$ importa, nos centraremos en el caso positivo. (Nótese que las repeticiones irreducibles están clasificadas pero el valor de $P_\mu P^\mu$ , así como el operador de Pauli Lubanski, porque estos son operadores casimir (conmutan con todos los generadores de grupo de Poincaire)--estos operadores tendrán el mismo valor propio actuando en cualquier estado en un representante irreducible).

Para resumir, elegimos una base/marco donde la energía P^0 es positiva y el momento P^i es cero. La energía en el marco de reposo es la masa.

También fíjate que $P_\mu P^\mu = - m^2$ (valor propio del operador $P^2$ en este irrep) es la condición de caparazón para una partícula masiva.

WillO

Gracias por esta respuesta. Todavía estoy tratando de digerirlo. Mi primer problema es que no estoy seguro de cuál es el

P^{μ}

$P^\mu$ son. mi conjetura es que

P^{μ}

$P^\mu$ se define por algo como

ρ (G^{μ}) = e^{i P^{μ}}

$\rho(G^\mu)=e^{iP^\mu}$ dónde

ρ

$\rho$ es una representación de grupo dada y

G^{μ}

$G^\mu$ es un elemento de grupo que representa la traducción del espacio-tiempo en el

μ

$\mu$ dirección. ¿Tengo este derecho?

Andrés

Sí exactamente correcto. Aunque, lo escribiría más como $G(x^\mu) =e^{i P_\mu x^\mu)

. T h e x a r e t h e p a r a m e t e r s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n (e q u i v a l e n t l y t h e c o o r d i n a t e s o n t h e L i e g r o u p m a n i f o l d), t h e P_{μ} a r e a p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e L i e a l g e b r a e l e m e n t s / g r o u p g e n e r a t o r s, a n d G i s a g r o u p e l e m e n t i n t h a t r e p r e s e n t a t i o n . T h e a n a l o g t o n o r m a l q u a n t u m m e c h a n i c s i s, f o r e x a m p l e, t i m e t r a n s l a t i o n s a r e g i v e n b y (f o r a t i m e i n d e p e n d e n t h a m i l t o n i a n H)

$. The x are the parameters of the transformation (equivalently the coordinates on the Lie group manifold), the P_\mu are a particular representation for the Lie algebra elements / group generators, and G is a group element in that representation. The analog to normal quantum mechanics is, for example, time translations are given by (for a time independent hamiltonian H)$ U(t)=e^{IH t}

, o r s p a c e t r a n s l a t i o n s a r e g i v e n b y

$, or space translations are given by$ G(x) =e^{iPx}$, donde P es el operador de cantidad de movimiento.

WillO

Andrés: Gracias. Esto ahora me permite llegar al corazón de mi confusión. Los operadores autoadjuntos

P^{μ}

$P^\mu$ actuar sobre algún espacio de Hilbert

H

$H$ , que está asociado con nuestra representación de grupo arbitraria. La energía y el impulso son operadores autoadjuntos (llámelos

Q^{μ}

$Q^\mu$ ) actuando sobre algún espacio de Hilbert

H^{'}

$H'$ que es el espacio de estado de nuestra partícula. Hay, como dices, alguna analogía entre el

P^{μ}

$P^\mu$ y el

Q^{μ}

$Q^\mu$ . Pero, ¿por qué identificamos el

P μ

$P\mu$ con el

Q^{μ}

$Q^\mu$ ? [CONTINUADO...]

WillO

[CONTINUACIÓN] Después de todo, también existe una analogía entre el

P^{μ}

$P^\mu$ y los observables que representan la ubicación (es decir, ambos se transforman de manera similar bajo el grupo de Lorentz). Entonces, ¿por qué los identificamos con energía/momento en lugar de, digamos, tiempo/ubicación u otros observables?

WillO

PD: estoy seguro de que lo que sea que no esté entendiendo es algo completamente básico y completamente obvio para todos menos para mí. Estoy bastante seguro de que entiendo las partes difíciles, pero hay una cosa simple en algún lugar que estoy pasando por alto.

Andrés

Correcto, esa es una gran pregunta. Feynman habla de esto en el volumen 3 de sus conferencias, por cierto, en el contexto del momento angular, ¿por qué llamamos a los generadores de rotaciones "momento angular" en lugar de "momento cuántico", por lo que también podría valer la pena buscar su perspectiva? Fundamentalmente la razón es que en el límite clásico P_\mu se comportan como energía y cantidad de movimiento. Esto se ve más directamente en el marco hamiltoniano, en la mecánica clásica una simetría está asociada con una cantidad conservada C (cont.)

Andrés

que es una función de las variables del espacio de fase que genera las transformaciones de simetría infinitesimal a través de corchetes de Poisson, por ejemplo

δ q = C, q

$\delta q ={C, q}$ , y los conmutadores se convierten en corchetes de Poisson en este límite. Intuitivamente, tal vez tenga sentido que las cantidades conservadas asociadas con las traslaciones, la energía y el impulso aparezcan en este contexto. También puede trabajar ejemplos específicos, por ejemplo, resolver el comportamiento de un campo libre \phi bajo traslaciones y terminará encontrando \delta \phi = [P_\mu, \phi], este es un ejercicio temprano en Srenicki Por ejemplo.

Andrés

Oh, no, en absoluto, esto es algo muy fundamental con el que lidias con eso, en mi opinión, es difícil encontrar una buena explicación (no estoy seguro de hacer un gran trabajo), tuve que improvisar mi comprensión de varias fuentes diferentes (Zee , Weinberg, Srednicki, algunas notas en línea, etc.).

WillO

Gracias, Andrés. Tengo mucho que pensar en sus últimos comentarios. Estoy seguro de que esto me mantendrá ocupado un tiempo.

Andrés

Aquí hay una referencia que pasa por la versión mecánica clásica de estas declaraciones damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/four.pdf , especialmente la sección 4.4.2 pero, sinceramente, todo eso es bueno. El pasaje de Feynman que tenía en mente está en la sección 34-7 del volumen 2. Los capítulos 17 y 20 del volumen 3 también son relevantes. Las conferencias de Feynman son gratuitas en línea en feynmanlectures.caltech.edu .

WillO

Acabo de aceptar la respuesta de Arnold Neumaier, que confirmó mi comprensión provisional, pero de alguna manera olvidé que esta respuesta me ayudó mucho a alcanzar esa comprensión en primer lugar. Ojalá pudiera aceptar ambos. Gracias.

Robar

MJ-fix: - Escrito por Andrew: "Sí, exactamente correcto. Aunque, lo escribiría más como

G (x^{μ}) = e^{i P_{μ} x^{μ}}

$G(x^\mu) = e^{i P_\mu x^\mu}$ . El

x

$x$ son los parámetros de la transformación (equivalentemente a las coordenadas en la variedad del grupo de Lie), el

P_{μ}

$P_\mu$ son una representación particular para los elementos del álgebra de Lie/generadores de grupos, y G es un elemento de grupo en esa representación. El análogo a la mecánica cuántica normal es, por ejemplo, las traslaciones de tiempo vienen dadas por (para un hamiltoniano H independiente del tiempo)

U (t) = e^{I H t}

$U(t)=e^{I H t}$ , o las traducciones espaciales están dadas por

G (x) = e^{i P x}

$G(x) =e^{iPx}$ , donde P es el operador de cantidad de movimiento.".

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