¿Por qué L=−14FμνFμνL=−14FμνFμν\mathcal L = -\frac14 F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} implica que los fotones no tienen masa?

La variable$\phi$en tu notación es el$U(1)$parámetro de calibre. No es coincidencia que las ecuaciones de movimiento no impliquen ninguna restricción en$\phi$; precisamente por eso decimos eso$\phi$es un parámetro que etiqueta una simetría (simetría de calibre en este caso). Cada configuración de$\phi$(o configuración de$A_\mu$eso se calcula a partir de tal$\phi$) es tan buena (y tan compatible con las ecuaciones de movimiento) como cualquier otra.

Y se deduce que$\phi$no puede producir grados físicos de libertad, campos observables: si$\phi(x,y,z,t)$puede depender de$t$arbitrariamente, sin ninguna restricción dictada por las ecuaciones de movimiento, implica que no puede describir ningún campo o partícula que evolucione de acuerdo con las condiciones iniciales. En otras palabras,$\phi$es un grado de libertad completamente no físico. El potencial correspondiente es "calibre puro". Cuando introduces los cuantos de$\phi$de todos modos, descubrirá que se desacoplan: la probabilidad de producirlos a partir de modos de partículas físicamente permitidos es cero. El verdadero espacio de configuración física es un cociente en el que todas las configuraciones relacionadas por transformaciones de calibre, es decir, por un cambio de$\phi$únicamente – se identifican entre sí. Decimos que las simetrías de calibre no son simetrías reales; son redundancias.

Para deducir que hay una partícula masiva, en realidad tendrías que encontrar un campo$\Phi$por lo que serías capaz de probar que$(\Box+m^2)\Phi=0$ se sigue de las ecuaciones de movimiento. Si ninguna ecuación como esa se deriva de las ecuaciones de movimiento, y obviamente, la acción de Maxwell no tiene un parámetro de masa dimensional, por lo que simplemente no puede surgir de las ecuaciones de movimiento, prueba que no puede haber excitaciones físicas masivas. al menos no perturbadores.

Resulta que el operador$\square\delta_\mu^\nu - \partial^\nu\partial_\mu$que actúa sobre$A^\mu$en$(1)$es (hasta un factor de -2) el Pseudovector de Pauli-Lubanski al cuadrado (ver, por ejemplo , aquí en las soluciones del ejercicio 2)$W^2$($W_\mu = \frac12\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}P^\nu M^{\rho\sigma}$donde la representación bosónica de los generadores de Lorentz$M^{\rho\sigma}$tiene que elegirse ya que estamos actuando sobre un campo vectorial), es decir, tenemos

Los valores propios de$W^2$son$-m^2 s(s+1)$, dónde$s$es el espín de la partícula. Como también muestra el ejercicio vinculado,$s=0$resulta en una solución longitudinal$A^\mu = \lambda p^\mu$que puede ser masivo, mientras$s=1$produce soluciones transversales que deben ser sin masa.

Ahora , la clasificación de Wigner se puede usar nuevamente para argumentar que el bosón escalar masivo longitudinal es una partícula completamente diferente, que, como ya mostró la pregunta, es el bosón de calibre. Mientras que incluso en el caso de interacción$\mathcal L_\text{QED} = -\frac14 F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \bar\psi (iD\!\!\!\!/-m)\psi$, dando$(W^2)^\mu_{\ \nu} A^\nu = -\frac12 j^\mu$, el bosón de calibre no interactúa, su presencia potencial (aunque aparentemente aburrida ya que no interactúa) no parece ser negable. Esto, por supuesto, sería bastante relevante en un GR-QED...