El cargo U(1)U(1)U(1) de una representación

En esta respuesta, seguiré la revisión de Slansky : "Teoría de grupos para la construcción de modelos unificados" y usaré los datos de la revisión y las mismas notaciones.

Los factores "U (1)" en el grupo ininterrumpido corresponden a "cargos centrales" que deben conmutar con los factores no abelianos. No es muy difícil probar que sus valores propios en los pesos fundamentales están dados por el componente correspondiente del peso en la raíz. Estos componentes están dados por:

Dónde$a_j$son los componentes en la base de Dynkin como se indica en la pregunta.$G_{ij}$es el tensor métrico definido en términos de la matriz de Cartan en la ecuación (4.11) en Slansky. Los valores de esta métrica para toda la clasificación de Cartan se dan en la tabla 7, página 82.

En el ejemplo dado en la pregunta cuando identificamos el$SU(3)$Etiquetas de Dynkin con las dos primeras etiquetas de la$SU(5)$peso y el$SU(2)$etiqueta con el último, entonces la carga (central) U(1) es el tercer componente del peso en la base de la raíz.

Así viene dado por el producto escalar de la tercera fila del tensor métrico, que podemos leer como:$\frac{1}{5}[2, 4, 6, 3]$con el peso

El resultado del producto escalar es$\frac{4}{5}$con el primero$3$pesas,$\frac{-1}{5}$con el siguiente$6$pesos y$\frac{-6}{5}$con el último peso.

Ahora bien, la ramificación no impone ningún requisito de normalización al cargo central. (Hay condiciones externas que pueden usarse para eso, pero esto estará fuera del alcance de la pregunta). Se impone la normalización para que la subrepresentación identificada con los quarks tenga la carga requerida a saber$\frac{1}{3}$. Esto significa que debemos elegir un factor de normalización tal que la carga$\frac{-1}{5}$el subespacio se convierte$\frac{1}{3}$. Por tanto, el factor de normalización es$\frac{-5}{3}$, por lo que los cargos correspondientes deben ser$\frac{-4}{3}$Por el primero$\frac{1}{3}$para la próxima$6$pesos y$2$para el singlete.

Por supuesto, cada componente irreducible en la descomposición se caracteriza por una sola carga, como debería ser.

Es muy simple usar los cuadros jóvenes. De hecho, el$SU(M+N)$se descompone en$SU(M)\times SU(N)\times U(1)$donde la hipercarga se identifica (hasta una normalización general) con la matriz diagonal de bloque (sin rastro)$diag(N,\ldots,N,-M,\ldots,-M)$donde los dos bloques son múltiplos de la identidad con dimensiones$M$y$N$respectivamente. Por lo tanto, una representación irreductible de$SU(M)\times SU(N)$a cargo de dos cuadros jóvenes con$m$y$n$las cajas tendrán hipercarga$y=m N -nM$.

Ejemplo en$SU(3)\times SU(2)\times U(1)\subset SU(5)$: el adjunto 24 contiene$(3,2)_{y=5}\in SU(3)\times SU(2)\times U(1)$porque el$3\in SU(3)$viene de$n=4$cajas mientras que el$2\in SU(2)$de$n=1$cajas, y por lo tanto$y=4\cdot 2-1\cdot 3=5$.

En general, el$U(1)$Los cargos no se fijan únicamente desde la representación. Aún así, puede encontrar una combinación lineal de etiquetas Dynkin que le da al$U(1)$carga una vez que fijas la carga de un solo estado . En la imagen geométrica, el$U(1)$los cargos corresponden a ejes que fijas en el espacio de peso. Esto es único si conoce los números cuánticos de un estado (p. ej.$(1, 1)_Y$debe ser el positrón, del que conoces la hipercarga, etc.).

Slansky trata esto en detalle en su revisión clásica "Teoría de grupos para la construcción de modelos unificados", cap. 6, alrededor de la ec. (6.9).