¿Pueden las representaciones irreducibles de dimensión finita (j+,j−)(j+,j−)(j_+,j_-) del grupo de Lorentz SO(3,1)SO(3,1)SO(3,1) ser unitarias?

La afirmación "Los grupos no compactos no tienen representaciones unitarias de dimensión finita" es una heurística , no un hecho.$(\mathbb{R},+)$es un grupo de Lie no compacto que tiene representaciones unitarias de dimensión finita no triviales. Sin embargo, el grupo de Poincaré y el grupo de Lorentz realmente no tienen representaciones unitarias de dimensión finita.

Tu construcción falla porque la complejización$\mathfrak{so}(1,3)_\mathbb{C}$es sólo isomorfo a la complejización $(\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2))_\mathbb{C}$, no al verdadero grupo Lie. Encontraste una representación unitaria de$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$mismo, pero esto no te da una representación unitaria de la complejización, ni de$\mathfrak{so}(1,3)$.

Nos preocupamos por esas representaciones de dimensión finita de$\mathrm{SO}(1,3)$incluso si no son unitarios porque estas son las representaciones en los espacios de destino de los campos. La representación que necesita ser unitaria es la representación sobre el espacio cuántico de estados , pero no sobre el espacio objetivo de campos. Claramente, un campo vectorial se transforma en la representación "estándar" de$\mathrm{SO}(1,3)$y no le importa que no sea unitario porque el espacio de destino es$\mathbb{R}^{1,3}$¡que ni siquiera es un espacio vectorial complejo para empezar! No hay "problema" con estas representaciones, simplemente no son las representaciones que necesitamos en el espacio de estados de Hilbert, que son representaciones proyectivas de$\mathrm{SO}(1,3)$, que son equivalentes a representaciones lineales unitarias de$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$, su funda universal. Para obtener más información sobre la necesidad de la representación proyectiva, consulte estas preguntas y respuestas mías .

$SO(1,3)$es un grupo de Lie real , por lo que su álgebra de Lie también es real, no está permitido combinar generadores con coeficientes complejos si está buscando la representación de ese grupo. Refiriéndose a la representación fundamental (no unitaria) hecha de$4 \times 4$matrices reales que consideres,$N_i^\pm$no pertenece al álgebra de Lie real de$SO(1,3)$. Exponenciar combinaciones lineales reales de$N_i^\pm$usted, de hecho, obtiene una representación unitaria de un grupo. Desafortunadamente el grupo no está$SO(1,3)$.

El uso de extensiones complejas del álgebra de Lie de$SO(1,3)$sin embargo, es útil al clasificar las representaciones del álgebra de Lie real propia de$SO(1,3)$, ya que clasificar todas las representaciones complejas incluye también una clasificación de las representaciones reales, y el álgebra de Lie compleja de$SO(1,3)$es isomorfo a una suma directa de un par de álgebras de Lie de$SU(2)$cuya teoría es relativamente simple.

La unitaridad es necesaria en la Teoría Cuántica debido al teorema de Wigner que establece que, representando los estados de un sistema cuántico en un espacio de Hilbert, todas las simetrías están representadas por operadores unitarios o anti unitarios.

En realidad el problema es más complicado debido a la aparición de fases (los estados puros se definen como vectores unitarios hasta las fases) que pueden destruir la ley de composición del grupo de Poincaré (es necesaria una extensión central). Sin embargo, un teorema de Bargmann demuestra que el grupo de Poincaré no se ve afectado por este problema.